這裡有三個定義:正規矩陣、譜半徑、譜範數
有一類矩陣 a
aa,如:對角矩陣、實對稱矩陣(a⊤=
aa^\top = a
a⊤=a
)、實反對稱矩陣(a⊤=
−a
a^\top = -a
a⊤=−
a)、厄公尺特矩陣(ah=
aa^h = a
ah=a
)、反厄公尺特矩陣(ah=
−a
a^h = -a
ah=−
a)、正交矩陣(ata
=aat
=i
a^t a = aa^t= i
ata=aa
t=i)以及酉矩陣(aha
=aah
=i
a^h a = aa^h = i
aha=aa
h=i)等,都有乙個共同的性質:
a ah
=aah
aa^h = aa^h
aah=aa
h為了能夠用統一的方法研究他們的相似標準型,我們引入正規矩陣的概念。
設 a ∈c
n×
na \in c^
a∈cn×n
,且 aah
=aha
aa^h = a^ha
aah=ah
a,則稱 a
aa 為正規矩陣。
上面提到的幾個特殊矩陣都是正規矩陣,但正規矩陣並不限於以上幾種。
a是n階方陣,λi是其特徵值,i=1,2,…,n。則稱特徵值的絕對值的最大值為a的譜半徑,記為ρ(a)
注意要將譜半徑與譜範數(2-範數)區別開來,譜範數是指a的最大奇異值,即 aha
a^ha
aha 最大特徵值的算術平方根。
譜半徑是矩陣的函式,但不是矩陣範數。
命題:a是正規陣,必然存在酉陣q滿足:q′∗
a∗q=
dq' * a * q = d
q′∗a∗q
=d,d為對角陣且每個對角元zhi為a的特徵值。
a的二範數 <=> a的最大奇異值 <=> max(sqrt(eig(a』 * a))) <=> max(sqrt(eig(d』 * d))) <=> d的模最大對角元 <=> a的譜半徑,證畢!
記d = diag滿足|λ1| ≥ |λ2| ≥ … ≥ |λn|,則|λ1|為a的譜半徑。
2.1 令x1為λ1對應的右特徵向量滿足a * x1 = λ1 * x1,必然有:||ax1||₂/ ||x1||₂= |λ1| ≤ ||a||₂
2.2 令y1為a的2範數對應的單位向量,即:||y1||₂= 1且||a||₂= ||ay1||₂。y1可以被q線性表出為y1 = q * z1,且z1也為單位向量。不難得出:||a||₂= ||ay1||₂= ||aqz1||₂= ||dz1||₂≤ |λ1|
綜合2.1和2.2可得:||a||₂= |λ1|,證畢!
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