在三維
現在，我們可以定義一種滿足以上所有特性的旋轉操作。一種旋轉運算元：
考慮採用點乘和叉乘，以上特性可以用數學語言如下表示：
第乙個特性：旋轉不改變向量的二範數（長度）：
第二個特性：旋轉不改變向量之間的角度：
第三個特性：旋轉不改變向量之間的相對方向：
以上，第一和第二特性是等價的，最終我們得到旋轉群組
定義：小結：根據以上特性我們很容易想到，三維旋轉矩陣不就是
嘛？不全是。四元數也是滿足條件的。第二小節：旋轉矩陣與
當旋轉運算元
是三維旋轉矩陣
時，將旋轉和矩陣通過乘法相乘：
很容易驗證旋轉矩陣
滿足以上三個特性。在此不贅述。
以上我們有了操作向量在三維空間進行剛體旋轉的一款數學工具，但我們不應滿足於此，因為還未將向量的空間旋轉的和其旋轉速度、甚至是加速度聯絡起來。
指數對映(和對數對映，我們將在下一節中看到)是乙個強大的數學工具，可以輕鬆而精確地在旋轉三維空間中工作。它代表了乙個適合旋轉空間的微積分語料庫的入口。指數對映允許我們正確地定義導數、擾動和速度，並對它們進行操作。因此，在旋轉或定向空間的估計問題中，它是必不可少的。旋轉構成剛性運動。這種剛性意味著可以在so(3)中定義乙個連續的軌跡或路徑r(t)，使剛體從其初始方向r(0)連續旋轉到當前方向r(t)。由於是連續的，研究這種變換的時間導數是合理的。
我們已知
,進行求導數：
說明 是反對稱矩陣的，意味著可以用乙個微小的反對稱矩陣表示微小的旋轉偏移。
3x3反對稱矩陣的集合表示為
,也叫做
的李代數，3x3反對稱矩陣有如下形式：
因此，必定存在乙個
使得 即
我們通過李代數將向量和旋轉矩陣導數聯絡起來了！！我們從
到有了數學表達，那就是
接下來從
:兩邊求積分，求解，有：
通過求解微積分方程，我們用指數對映，將
和
聯絡起來了
以上，我們建立起向量到so(3)，so(3)到so(3)的聯絡，我們再定義乙個運算元，表示直接從向量到so(3)
與exp不同之處，在於exp包含了兩步操作。
下面這張圖，清晰的說明了以上三種操作：
已知旋轉矩陣求角度 01 矩陣位移法
杆繫結構的矩陣位移法和連續介質的有限單元法的基本概念是相同的，即把乙個結構看做是有限個單元的組合，這些單元在結點上相互連線起來。其區別是，對於杆繫結構，乙個構件作為乙個單元，而對於連續介質，不存在這樣的自然單元，需要人為地去劃分。矩陣位移法簡述如下 把乙個結構看成是由有限個單元通過結點拼合起來的整體...
旋轉矩陣求旋轉角度 矩陣旋轉變換推導
矩陣旋轉變換，就是說給定乙個角度和點，我們將點繞著乙個座標軸旋轉。在旋轉過程中發生變化的總是 三個座標裡面的其中兩個，而不讓第三個座標值變化。這意味著，旋轉路徑總在三個座標軸平面中的乙個之中 繞 z 軸的是 xy 面 繞 x 軸的是 yz 面 繞 y 軸的是 xz 面。還有許多複雜的旋轉變換可以讓你...
由旋轉矩陣求旋轉中心
在影象的復合變化過程中，通常會用到matrix矩陣，一般的過程是先構造仿射變換矩陣，然後對影象進行仿射變換，如 圍繞點 100，100 旋轉30度 sin 30 0.5 cos 30 0.866 則構造過程如下 float f matrix new matrix matrix.setvalues f...