假設某個硬幣，在toss之後，可以很穩定的以
那麼顯然，在
已知的情況下，
發生的概率服從二項分布，其pmf(probability mass functions)為
而的邊緣pmf需要對聯合概率分布
關於求積分，即：
我們對
沒有任何先驗知識。那也就是意味著，我們不知道
的取值更傾向於哪些數（概率或概率密度大），或更不傾向於哪些數（概率或概率密度小）；換句話說，在沒有先驗知識的情況下，我們認為
在其可能取值範圍內取任何值都是等概率的，即
將(2)-(4)代入(1)後，我們有：
公式(5)中，等號右邊的分式結構的分子
剛好是beta函式，也被稱為b函式。且有如下性質：
將(6)帶入(5)，我們有：
從(7)的表示式中，我們已經可以看出這是乙個beta分布了。進一步來說，如果令
，， 那麼有
這是乙個標準的beta分布。因此我們可以看出，進行
次試驗，成功
次， 失敗
次，那麼
服從乙個標準的引數為
的beta分布。
而且beta分布還是伯努利分布以及二項分布的乙個共軛先驗（conjugate prior）分布。無論是數學形式上還是物理意義上都有著很奇妙的性質。
下面的公式(5full)是正文中公式(5)的完整推導。
參考資料
Beta 分布的應用
考慮如下的遊戲 有乙個魔盒 隨機數生成器 上有乙個按鈕，每按一下按鈕，就均勻地輸出乙個 u 0,1 之間的隨機數，現在按上下，得到10個隨機數，第7大的數是多少？我更進一步發問，第7大的數，要求猜測不超過0.01才算對。對上面的遊戲作如下的數學抽象 x1 x2,xn iid u 0,1 把這 n 個...
beta分布 多項分布與Dirichlet分布
前文我們介紹過二項分布與beta分布，本文是其乙個更加generalized的版本。首先我們先看乙個例子 假設我們有乙個六個面的公平骰子，即，每個面出現的概率都是1 6。我們擲骰子 可以看出，與硬幣不同，骰子有六個面，擲骰子結果不僅僅有兩種可能，有多種可能。我們把這個模型generalize一下，對...
如何理解beta分布？
81 219 81,219 8181 219 0.27 8181 219 0.27 從圖中可以看到這個分布主要落在了 0.2,0.35 間，這是從經驗中得出的合理的範圍。0 hits,0 misses beta 0 hits,0 misses 0 0 和 0 0是一開始的引數，在這裡是81和219。...