問題描述
評測題目: 給定 m 種面值的硬幣，每種面值的硬幣有無限多個，它們的面值分別為c=[c[0], c[1], …, c[m-1]]，現用這些面值的硬幣湊齊 n 元，求有多少種方法。如 n=3, m=4, c =[8, 3, 1, 2]，則有 3 種方法，分別為 、、 。
問題分析
給定乙個金額n，假設有m種面值的硬幣c=[c[0], c[1], …, c[m-1]]，現用這些面值的硬幣湊齊 n 元，有
求所有可能的組合數，就是求滿足前面等值的係數x=[x[0], x[1], …, x[m-1]]的所有可能個數。
【思路1】 採用暴力列舉的方法，各個係數可能的取值分別為x[0] = , ……, x[m-1] = 。這適用於硬幣種類數較小的問題，但是複雜度很高o(n/c[0]×…×n/c[m-1]))
【思路2】 定義num[i,j]為用前i種硬幣(所有硬幣)湊齊j元的所有組合數，那麼題目的問題實際上就是求num[m,n]。設k為使用面值為c[m-1]的硬幣湊齊n元所允許的最大個數，那麼所有可能的組合數可以表示為c[m-1]的個數j從0個一直變到k個的時候滿足n-j*c[m-1]的所有組合數之和。也就是說，我們通過固定最後一種面值的硬幣數量，來求取剩餘面值硬幣湊齊餘額的組合數。因此，對num[m,n]，有
由此式可以看出此表示式可用遞迴的方法，逐步縮減問題的規模，然後求解。下面討論遞迴的初始值，即num[i,0]的情況。顯然如果n=0，那麼無論有前多少種來組合0，只有一種可能，就是各個係數都等於0，所以對每乙個i，都有num[i][0] = 1。
python**
# 評測題目: 給定 m 種面值的硬幣，每種面值的硬幣有無限多個，
# 它們的面值分別為 c=[c[0], c[1], …, c[m-1]]，
# 現用這些面值的硬幣湊齊 n 元，求有多少種方法。
# 如 n=3, m=4, c =[8, 3, 1, 2]，則有 3 種方法，分別為 、、 。
import numpy as np
def combination(c,n,m):
num = np.zeros((m + 1, n + 1)) # num[i,j]為用前i種硬幣(所有硬幣)湊齊j元的所有組合數
for i in range(m+1):
num[i][0] = 1
for i in range(1,m+1):
for j in range(1,n+1):
for k in range(j//c[i-1]+1):
num[i][j] += num[i-1][j-k*c[i-1]]
return num[m][n]
c = np.array([8,1,2,3])
n = 3
m = 4
print('%d' %(combination(c,n,m)))
參考文獻
7621 硬幣面值組合
描述 使用1角 2角 5角硬幣組成 n 角錢。設1角 2角 5角的硬幣各用了a b c個，列出所有可能的a,b,c組合。輸出順序為 先按c的值從小到大，若c相同則按b的值從小到大。輸入乙個整數n 1 n 100 代表需要組成的錢的角數。輸出輸出有若干行，每行的形式為 i a b c 第1列i代表當前...
騰訊 硬幣面值組合問題
題目描述 有n種不同面值的硬幣，每種面值的硬幣都有無限多個。為了方便攜帶，希望帶盡量少的硬幣，並且要能組合出1到m之間 包括1和m 的所有面值。輸入第一行包含兩個整數m,n，含義如題目所述。第二行包含n個整數，第i個整數表示第i種硬幣的面值。輸出輸出乙個整數，表示最少需要攜帶的硬幣數量。如果無解，則...
硬幣面值組合（上台階）
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