教你徹底學會動態規劃高階篇

話不多說，來看如下例題，也是在動態規劃裡面遇到過的最頻繁的乙個題，本題依然來自於北大poj：

最長公共子串行（poj1458)

給出兩個字串，求出這樣的乙個最長的公共子串行的長度：子串行中的每個字元都能在兩個原串中找到，而且每個字元的先後順序和原串中的先後順序一致。

sample input

abcfbc abfcab

programming contest

abcd mnp

sample output

假定len1 = strlen(s1),len2 = strlen(s2），那麼題目就是要求maxlen(len1,len2)

顯然：maxlen(n,0) = 0 ( n= 0…len1）

maxlen(0,n) = 0 ( n=0…len2）

於是，我們可以得到如下的遞推公式：

if ( s1[i-1] == s2[j-1] ) //s1的最左邊字元是s1[0]maxlen(i,j) = maxlen(i-1,j-1) + 1;elsemaxlen(i,j) = max(maxlen(i,j-1),maxlen(i-1,j) );

時間複雜度o(mn) m,n是兩個字串長度

s1[i-1]!= s2[j-1]時，maxlen(s1,s2)不會比maxlen(s1,s2j-1) 和maxlen(s1i-1,s2)兩者之中任何乙個小，也不會比兩者都大。

通過上面的分析，我們很簡單就可以寫出如下的**：

#include #include using namespace std; 
char sz1[1000]; 
char sz2[1000]; 
int maxlen[1000][1000]; 
int main()   
}   
cout <<  maxlen[length1][length2] << endl;  
}  return 0;  
}

然後提交我們的**，一次ac。

接下來我們再來看一道典型的例題：

最長上公升子串行(百練2757)

乙個數的序列ai，當a1 < a2 < ... < as的時候，我們稱這個序列是上公升的。對於給定的乙個序列(a1, a2, ..., an)，我們可以得到一些上公升的子串行(ai1, ai2, ..., aik)，這裡1 <= i1 < i2 < ... < ik <= n。比如，對於序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上公升子串行，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。這些子串行中最長的長度是4，比如子串行(1, 3, 5, 8).。

你的任務，就是對於給定的序列，求出最長上公升子串行的長度。

輸入資料

輸入的第一行是序列的長度n (1 <= n <= 1000)。第二行給出序列中的n個整數，這些整數的取值範圍都在0到10000。

輸出要求

最長上公升子串行的長度。

輸入樣例

1 7 3 5 9 4 8

輸出樣例

解題思路

1.找子問題

「求序列的前n個元素的最長上公升子串行的長度」是個子問題，但這樣分解子問題，不具有「無後效性」，因為假設f(n) = x,但可能有多個序列滿足f(n) = x。有的序列的最後乙個元素比 an+1小，則加上an+1就能形成更長上公升子串行；有的序列最後乙個元素不比an+1小……以後的事情受如何達到狀態n的影響，不符合「無後效性」，因此我們必須換一種思路來解決此問題。

「求以ak（k=1, 2, 3…n）為終點的最長上公升子串行的長度」，乙個上公升子串行中最右邊的那個數，稱為該子串行的「終點」。雖然這個子問題和原問題形式上並不完全一樣，但是只要這n個子問題都解決了，那麼這n個子問題的解中，最大的那個就是整個問題的解。

2.確定狀態

子問題只和乙個變數—— 數字的位置相關。因此序列中數的位置k就是「狀態」，而狀態 k 對應的「值」，就是以ak做為「終點」的最長上公升子串行的長度。狀態一共有n個。

3.找出狀態轉移方程

maxlen (k)表示以ak做為「終點」的

最長上公升子串行的長度那麼：

初始狀態：maxlen (1) = 1

maxlen (k) = max + 1 若找不到這樣的i,則maxlen(k) = 1

maxlen(k)的值，就是在ak左邊，「終點」數值小於ak ，且長度最大的那個上公升子串行的長度再加1。因為ak左邊任何「終點」小於ak的子串行，加上ak後就能形成乙個更長的上公升子串行。

有了這個思路，我們就可以很輕鬆地寫出**了。然而，即使到了這裡，我們依然還能從兩個方向解決這道題，我們可以將它們分別稱為「人人為我」遞推型動歸和「我為人人」遞推型動歸。請看下面的講解：

「人人為我」遞推型動歸

狀態i的值fi由若干個值已知的狀態值fk,fm,..fy 推出，如求和，取最大值

根據這個方向，我們不難寫出如下**：

#include #include #include using namespace std; 
const int  maxn =1010; 
int a[maxn];   int maxlen[maxn]; 
int main()  
for( int i = 2; i <= n; ++i)  
cout << * max_element(maxlen+1,maxlen + n + 1 );  
return 0; 
} //時間複雜度o(n2)

「我為人人」遞推型動歸狀態i的值fi在被更新（不一定是最終求出）的時候，依據fi去更新（不一定是最終求出）和狀態i 相關的其他一些狀態的值 fk,fm,..fy

根據這個方向，我們又可以寫出如下**：

#include #include #include using namespace std; 
const int  maxn =1010; 
int a[maxn]; 
int maxlen[maxn];   
int main()  
for( int i = 1; i <= n; ++i)    
for( int j = i + 1; j <= n; ++j )  //看看能更新哪些狀態的值    
if( a[j] > a[i] )     
maxlen[j] = max(maxlen[j],maxlen[i]+1);  
cout << * max_element(maxlen+1,maxlen + n + 1 );  
return 0;
} //時間複雜度o(n2)

接下來，就要進行乙個總結了：

動規的三種形式

1）記憶遞迴型

優點：只經過有用的狀態，沒有浪費。遞推型會檢視一些沒用的狀態，有浪費。

缺點：可能會因遞迴層數太深導致棧溢位，函式呼叫帶來額外時間開銷。總體來說，比遞推型慢。

2) 「我為人人」遞推型

沒有什麼明顯的優勢，有時比較符合思考的習慣。個別特殊題目中會比「人人為我」型節省空間。

3）「人人為我」遞推型

在選取最優備選狀態的值fm,fn,…fy時，有可能有好的演算法或資料結構可以用來顯著降低時間複雜度。

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