求素數的幾種方法

素數，也稱為質數，其只能被1或者自身整除的自然數（不包括1）。換而言之，只有兩個正因數的自然數稱為素數。

與之相對的比1大但不是素數的自然數稱為合數。1和0既不是素數也不是合數，合數由若干個質數相乘得到。

顯然根據定義就能判斷乙個數n是否為素數，具體的，對其從2到sqrt(n)進行除法，判斷是否存在餘數為0的情況，存在即認為n為合數，否則即為素數（這裡臨界的根號n是因為，對於n=p×q，顯然p和q至少有乙個小於根號n）。

bool prime(int n)
return 1;
}

埃拉託斯特尼篩法，簡稱埃氏曬，是一種用來求自然數n以內的全部素數。

他的基本原理是，如果我們要獲得小於n的所有素數，那就把不大於根號n的所有素數的倍數剔除。

埃氏曬的原理很容易理解，乙個合數，必然可以表示成，乙個自然數 i 和乙個素數的乘積。因此我們找到乙個素數後，把他小於n的倍數全部標記為合數，這就是我們要做的

bool flag[n_max];//0為素數 1為合數
int primes[n_max];
void prime(int n) 
}	}}

值得注意的是，其中內層迴圈的起始點為 i×i，這是因為 i × (2 至( i –1))在之前的迴圈中，已經被篩去(因為2 至( i –1)均小於i)。觀察被篩掉的資料，我們可以發現，乙個合數，可能會被篩掉多次，例如，30 = 2 * 15 = 3 * 10 = 5 * 6，所以30 就至少被2，3，5這三個質數分別篩過了，這個地方就會造成時間的浪費。

該方法保證每個合數僅被篩一次，其依據如下：

每個合數n都可以表示成這種形式，其中factormax表示n的最大因數，並且剩下的這個 p 滿足：

它是乙個素數.

它比 factormax的所有因數都要小.

即 p是 n 的最小素因數.

證明如下：

假設p為合數，則p = p1 * p2 * ···· * pn，其中，p1fatory，所以和factory是n的最大的因數矛盾，故假設不成立

假設p大於factory的某個因數，不妨設p>p1因為 factory = p1 * p2 * ···· * pn 因此 p * p2 * ··· * pn 必然大於factory 所以和factory是n的最大因數矛盾，故假設不成立

假設有乙個素數表 prime[n]和乙個是否為合數的標記表 flag[n] （定義 true表示合數）。我們每次列舉乙個數 i，判斷它是否標記過，如果是，那麼存入 prime[n] ，否則不存。接下來我們標記由 i （不論它是素數與否）產生的數 n= i⋅prime[n]為合數，因為顯然質數和另乙個數（>2 ）相乘為合數。

根據以上結論，我們對於乙個數，把它作為另乙個數最大因子，那麼顯然可以根據已有的質數表產生一些合數. 並且我們知道這些合數顯然只有一種產生方法（只有乙個 factormax）那麼我們每次根據列舉到的 i 只要判定prime[n]是不是最小素因數就可以保證列舉的量不多不少。

在判斷 i % prime[n] == 0 之前的素數均為對應合數的最小素因數，其後的素數均不是。這是因為 i 可以分解為 prime[n] × k，因此對於後面的更大的素數prime[n+1]來說，其對應的合數prime[n+1] × i = prime[n+1] × prime[n] × k，其中 prime[n]小於prime[n+1]，故prime[n+1]不是該合數的最小素因數。

bool flag[n_max];//0為素數 1為合數
int primes[n_max];	//存放找到的素數
void euler_prime(int n) 
}}

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