我的筆試題記錄 0 1揹包問題

給定一組多個（n

nn）物品，每種物品都有自己的重量（w

iw_i

wi​）和價值（v

iv_i

vi​），在限定的總重量/總容量（c

cc）內，選擇其中若干個（也即每種物品可以選0個或1個），求能取得的最大價值。

用更抽象的話說，給定正整數1≤w

i≤n,

1≤vi

≤n,1

≤c≤n

1 \leq w_i \leq n, 1 \leq v_i \leq n, 1 \leq c \leq n

1≤wi​≤

n,1≤

vi​≤

n,1≤

c≤n，求：

m ax

∑i=1

nxiv

i,s.

t.∑i

=1nx

iwi≤

c,x∈

max\sum_^nx_iv_i, s.t.\sum_^nx_iw_i \leq c, x \in \

maxi=1

∑n​x

i​vi

​,s.

t.i=

1∑n​

xi​w

i​≤c

,x∈動態規劃

定義d p(

i,w)

dp(i, w)

dp(i,w

)為在前i個物品中篩選出總重量不超過w的最大價值。

轉移方程：

對於第i個物品，有兩種做法： 當w

i>

ww_i>w

wi​>

w時，第i

ii個物品不可能放入揹包中，此時dp(

i,w)

dp(i, w)

dp(i,w

)只能取第二種做法。當wi≤

ww_i \leq w

wi​≤

w時，需要比較兩種做法哪一種能獲取較高的價值。得到轉移方程：

d p(

i,w)

=oth

erwi

se

dp(i, w)= \begin 0 & i=0 \\ 0 & w=0 \\ dp(i-1, w) & w_i>w \\ max\ & otherwise \end

dp(i,w

)=⎩⎪

⎪⎪⎨⎪

⎪⎪⎧​

00dp

(i−1

,w)m

ax​i

=0w=

0wi​

>wo

ther

wise

​ **（c++）：

/**

* @param itemcount 物品個數
* @param weight 物品重量，weight[i]表示第i個物品的重量（i從1開始）
* @param value 物品價值，value[i]表示第i個物品的價值（i從1開始）
* @param maxload 揹包的最大負重
*/int
maxvalue
(int itemcount, vector<
int> weight, vector<
int> value,
int maxload)}}
return dp[itemcount]
[maxload]
;}

從i =n

,j=c

i=n, j=c

i=n,j=

c開始看，若dp(

i−1,

j)=d

p(i,

j)

dp(i-1, j) = dp(i, j)

dp(i−1

,j)=

dp(i

,j)，則表示第i

ii個物品沒有被選擇，則從dp(

i−1,

j)

dp(i-1, j)

dp(i−1

,j)繼續尋找。如果dp(

i−1,

j)≠d

p(i,

j)

dp(i-1,j) \neq dp(i, j)

dp(i−1

,j)

​=dp

(i,j

)，則表示第i

ii個物品被選擇，下一步從dp(

i−1,

j−wi

)dp(i-1, j-w_i)

dp(i−1

,j−w

i​)繼續尋找。

/**

* @param dp 求最大價值時產生的動態規劃陣列dp
* @param weight 物體重量陣列
* @param itemcount 物體個數
* @param maxload 揹包最大負重
*/vector<
int>
finditems
(vector< vector<
int>
> dp, vector<
int> weight,
int itemcount,
int maxload)
else
}return res;
}

本片記錄總結自：

【動態規劃】01揹包問題 - 弗蘭克的貓 - 開發者的網上家園

0-1揹包問題的動態規劃演算法 - 知乎

01揹包刷題記錄

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筆試題14 揹包問題（01 完全 多重）

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