分治法 整數劃分問題

問題：將給定正整數n表示成一系列正整數之和n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。求正整數n的不同劃分個數p(n)。

有些問題本身都具有比較明顯的遞迴關係，因而容易用遞迴函式直接求解。而有些問題遞迴關係卻不明顯。

在本例中，如果設p(n)為正整數n的劃分數，則難以找到遞迴關係，因此考慮增加乙個自變數：將最大加數不大於m的劃分個數記作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下遞迴關係：

n = 1 或者m =1，這種情況下，可能的劃分只有一種，為最小的子問題。

m >= n > 1，由於m不可能大於n，因此此時m就是n，此時一定存在乙個劃分就是n本身，去掉這個劃分的話，就還有q(n,n-1)種劃分。

1 < m < n，這種情形是最重要的。q(n,m) = q(n,m-1) + 最大加數是m的所有劃分，問題的最後部分也是關鍵就是求出最大加數是m的所有劃分。與之前的思路相似，最大加數是m的所有劃分中，一定都含有乙個m，那麼去掉這個m，就可以寫成q(n-m,m)，遞推式就完成了。

分治不需要證明，此遞推應該會收斂到最小子問題，但是有重複計算。

//生成正整數n的劃分個數

//輸入：乙個正整數n

//輸出：劃分個數

int q(int n,int m){

if(n==1 || m==1) return 1;

if(m>=n) return 1+q(n,n-1);

if(m關於這種複雜度計算仍然存疑，因為其複雜度的遞推過程不明確，難以確定遞推樹。

注意在建立遞迴關係時，一定要注意考察是否覆蓋了所有情況，例如本題中m=1&&n=1和m=1||n=1的區別。

注意遞推關係是否收斂，即子問題是否可以合併成原問題。

分治可以借助中間變數盤活全域性。

整數劃分 分治法

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