423，動態規劃和遞迴解最小路徑和

給定乙個包含非負整數的 m x n 網格，請找出一條從左上角到右下角的路徑，使得路徑上的數字總和為最小。

說明：每次只能向下或者向右移動一步。

示例:

輸入:

[1,3,1],

[1,5,1],

[4,2,1]

輸出: 7

解釋: 因為路徑 1→3→1→1→1 的總和最小。

動態規劃求解這題求的是從左上角到右下角，路徑上的數字和最小，並且每次只能向下或向右移動。所以上面很容易想到動態規劃求解。我們可以使用乙個二維陣列dp，dp[i][j]表示的是從左上角到座標(i，j)的最小路徑和。那麼走到座標(i，j)的位置只有這兩種可能，要麼從上面(i-1，j)走下來，要麼從左邊（i，j-1）走過來，我們要選擇路徑和最小的再加上當前座標的值就是到座標（i，j）的最小路徑。

所以遞推公式就是

dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+dp[i][j-1])+grid[i][j];

有了遞推公式再來看一下邊界條件，當在第一行的時候，因為不能從上面走下來，所以當前值就是前面的累加。同理第一列也一樣，因為他不能從左邊走過來，所以當前值只能是上面的累加。

比如上面圖中，如果我們走到中間這一步的話，我們可以從上面1→3→5走過來，也可以從左邊1→1→5，我們取最小的即可。我們來看下**

public
intminpathsum
(int
grid)
//第一行只能從左邊走過來
for(
int i =
1; i < n; i++
)for
(int i =
1; i < m; i++)}
return dp[m -1]
[n -1]
;}

我們看到二維陣列dp和二維陣列grid的長和寬都是一樣的，沒必要再申請乙個dp陣列，完全可以使用grid，來看下**

public
intminpathsum
(int
grid)
else
if(j ==0)
else}}
return grid[m -1]
[n -1]
;}

遞迴求解我們還可以把上面的動態規劃改為遞迴，定義乙個函式

minpathsum(int grid, int i, int j)表示從左上角到座標(i，j)的最短路徑和，那麼同樣道理，要走到座標(i，j)只能從上面下來或者左邊過來。所以**輪廓我們大致能寫出來

public
intminpathsum
(int
grid,
int i,
int j)
//一些邏輯處理
//取從上面走下來和從左邊走過來的最小值+當前座標的值
return grid[i]
[j]+ math.
min(
minpathsum
(grid, i -
1, j)
,minpathsum
(grid, i, j -1));}

下面再來看下完整**

public
intminpathsum
(int
grid)
public
intminpathsum
(int
grid,
int i,
int j)

因為這裡面的遞迴會導致大量的重複計算，所以還是老方法，就是把計算過的值儲存到乙個map中，下次計算的時候先看map中是否有，如果有就直接從map中取，如果沒有再計算，計算之後再把結果放到map中，來看下**

public
intminpathsum
(int
grid)
public
intminpathsum
(int
grid,
int i,
int j, map
map)

總結這題使用動態規劃應該說是最容易理解的，也可以參照前面的409，動態規劃求不同路徑和411，動態規劃和遞迴求不同路徑 ii，只不過遞推公式會有點差別。

423，動態規劃和遞迴解最小路徑和

動態規劃最小路徑和

最小路徑和動態規劃

遞迴和動態規劃矩陣的最小路徑和

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