（氣泡排序的正確性）氣泡排序是一種流行但低效的排序演算法，它的作用是反覆交換相鄰的未按次序排列的元素。
a. 假設a' 表示bubblesort(a)的輸出。為了證明bubblesort正確，我們必須證明它將終止並且有：
其中 n = a.length 。為了證明 bubblesort 確實完成了排序，我們還需要證明什麼？
下面兩部分將證明2.3 。
b. 為第 2~4 行的for迴圈精確地說明乙個迴圈不變式，並證明該迴圈不變式成立。你的證明應該使用本章中給出的迴圈不變式證明的結構。
c. 使用(b)部分證明的迴圈不變式的終止條件，為第1~4行的for迴圈說明乙個迴圈不變式，該不變式將使你能證明不等式(2.3)。你的證明應該適用本章中給出的迴圈不變式證明的結構。
d. 氣泡排序的最壞執行時間是多少？與插入排序的執行時間相比，其效能如何？
a 解答：
我們還需要證明所有元素由原來的陣列a中原來的元素組成。
b 解答：
2~4行的**維持的迴圈不變式是：對於每一次迴圈迭代開始時，保證a[j]為a[j..n]中最小的元素，且a[j..n]的元素陣列a原來的元素組成。
初始化：在第一次迴圈開始時，a[j..n]由乙個a[j]組成，因為只有乙個元素，迴圈不變式成立。
保持：如果迴圈迭代時迴圈不變式為真，那麼執行本次迴圈時，如果存在a[j-1]>a[j]，a[j-1]將會與a[j]交換，否則不進行交換。那麼本次迴圈可以保證a[j-1]為原來的a[j]和a[j-1]中最小的乙個，並且也保證了a[j-1]和a[j]由原來的a[j-1]和a[j]兩個元素組成。由於原來的a[j]已經是a[j..n]中最小的元素，那麼本次迴圈將保證a[j-1]為a[j-1..n]中最小的元素，故迴圈不變式成立。
終止：導致迴圈的終止條件為 j = i，在迴圈終止時，最後一次執行迴圈的j值為i+1，此時**執行完畢將保證如果a[i]小於a[i+1]，則a[i]將與a[i+1]置換，這個邏輯保證了**執行過後的a[i]將為a[i..n]中最小的元素。
c 解答：
1~4行的**維持的迴圈不變式是：對於每一次迴圈開始時，對於每一次執行迴圈的索引i，將保證a[1..i-1]已按非降序排序，且a[1..i-1]中的元素為陣列a原來的元素，並且是由陣列中最小的元素組成。**執行後，整個陣列a中的所有元素保持不變，只有索引上發生了變化。
初始化：在第一次迴圈開始時，a[1..i-1]為空陣列，故迴圈不變式成立。
保持：如果迴圈迭代時迴圈不變式為真，那麼執行本次迴圈時，a[1..i-1]將滿足迴圈不變式的條件，而在進行本次迴圈後，**2~4將保證a[i]為a[i..n]中最小的元素，又因為a[1..i-1]為陣列中最小元素組成，所有可以推斷a[i]必將大於a[1..i-1]中的每乙個元素，又因為a[1..i-1]是已排序的，那麼a[1..i]肯定也是已排序的子陣列。又由於a[i]是a[i..n]最小的元素，可以進一步推斷出a[1..i]已排序且a[1..i]為陣列a中原來的袁術，並且由陣列中最小的元素組成。
終止：迴圈終止時，i的值為n，此時a[1..n-1]將滿足迴圈不變式，由於a[1..n-1]由整個陣列a中最小的元素組成，所以a[n]必將大於a[1..n-1]中任何元素，又由於a[1..n-1]已排序，因此得知a[1..n]也已經排好序。本迴圈不變式正確。
d 解答：
氣泡排序的時間開銷為θ(
krusal演算法正確性的證明
krusal演算法步驟如下 新建圖g，g中擁有原圖中相同的節點，但沒有邊 將原圖中所有的邊按權值從小到大排序 從權值最小的邊開始，如果這條邊連線的兩個節點於圖g中不在同乙個連通分量中，則新增這條邊到圖g中 重複3，直至圖g中所有的節點都在同乙個連通分量中 為什麼這一定是最小生成樹呢？關鍵還是步驟3中...
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問題 求圖中點1到其他各點的最短距離 演算法描述 設初始時圖的所有點的集合u 把起點s放入初始集合set中 u u set set 找s經過集合set中的點，能達到的距離最短的點k k in u 將k併入set 言外之意k的前乙個點必然屬於set u u set set 由於每次引入的只有乙個點k，...
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問題 求圖中點1到其他各點的最短距離 策略 1.把起點1放入初始集合set中，從剩餘的點中，選取到set 此時set中只有1個點 距離最近的點，併入集合set中，2.從剩餘的點中，找經過集合set，到起點1的最短距離，將最短邊併入set集合 3.依次迴圈，直到所有的邊都併入set 變數的命名 set...