遞迴遞推區別分析與例題總結

例題遞迴例子

漢諾塔問題

倒序輸出正整數

執行過程中自我呼叫，求解過程分為回溯和遞推兩個過程，占用記憶體多（棧數先積累後收縮，有可能爆棧），**簡潔但低效。

尾遞迴和遞迴區別⬇

function story()

function story()

尾遞迴省記憶體、高效(相當於迭代（或者說遞推？）)

python無法在語言中實現尾遞迴優化(tail call optimization, tco)，所以採用了for, while等特殊結構代替recursive的表述（優化是編譯器幹的，發現尾遞迴結構就給優化了）。

效率比遞迴高，盡量遞推，除非只能遞迴。

一般都是數學題。。重點是找遞推公式（也太好偷懶了吧）

平面分割問題

直線分割平面（基本結論）

如果當前有 n 條直線，新增加一條直線（第 n+1 條直線），可以多出來 n 個交點（新的直線和之前所有的直線都有交點），而多出來 n 個交點對應到可以多出 n+1 個平面（比如從兩條線，又新增一條線時，新的線和兩條線都相交，作用在三個區域上，對這三個區域切分，增加三個平面）。也即：

s n+

1=sn

+(n+

1)=1

+(n+

1)(n

+2)2

s_=s_+(n+1)=1+\frac

sn+1=

sn+

(n+1

)=1+

2(n+

1)(n

+2)

線圈分割平面

設有n條封閉曲線畫在平面上，而任何兩條封閉曲線恰好相交於兩點，且任何三條封閉曲線不相交於同一點，問這些封閉曲線把平面分割成的區域個數。

當平面上已有n-1條曲線將平面分割成an-1個區域後，第n-1條曲線每與曲線相交一次，就會增加乙個區域，因為平面上已有了n-1條封閉曲線，且第n條曲線與已有的每一條閉曲線恰好相交於兩點，且不會與任兩條曲線交於同一點，故平面上一共增加2(n-1)個區域，加上已有的an-1個區域，一共有an-1+2(n-1)個區域。所以本題的遞推關係是an=an-1+2(n-1)，邊界條件a1=2。

平面分割變體很多，在短時間內建立遞推關係是難點。

折線分割平面

題目見鏈結⬆

對於折線：設第n-1條折線，把空間劃分的區域為f(n-1)，為了增加的區域最多，新增的折線要和之前的n-1條折線的2(n-1)條邊都相交（因為是折線所以每條邊交了兩次），交點數為4(n-1)，新增的線段數為4(n-1)，射線數為2。但要注意的是，折線本身相鄰的兩線段只能增加乙個區域。新增區域數目為4(n-1)。

新增區域圖示⬇

(多乙個線段或射線都產生乙個新區域，除了最左邊那兩條合起來只產生乙個新區域。)

所以有遞推公式：

f(n)=f(n-1)+4(n-1) + 1=2n2-n+1

偷懶方法

這類問題一般都有固定的公式，二維的一般是an2+bn+c，三維的一般是an3+bn2+cn+d。

用待定係數法求出各個係數就ok了。

catalan數 cn=

1n+1

(2nn

)=(2

n)!(

n+1)

!n!c_=\frac\left(\begin 2 n \\ n \end\right)=\frac

cn=n+

11(

2nn

)=(n

+1)!

n!(2

n)!

斐波那契數列（fibonacci）應用

得到的是遞推式，但只能用遞迴寫，或者優化為dp

兔子繁殖問題

有雌雄一對兔子，每過兩個月便可繁殖雌雄各一的一對小兔子。問過n個月後共有多少對兔子？

設滿x個月時共有兔子f(x)對，滿x-1個月時共有兔子f(x-1)對，第x月當月新生的兔子數目為n對。

fx=n+f(x-1)

n=f(x-2)❗ (即第x-2個月的所有兔子到第x個月都有繁殖能力了）

得fx=f(x-1)+f(x-2)

邊界條件：f0=0，f1=1

由上面的遞推關係可依次得到：

f2=f1+f0=1,f3=f2+f1=2,f4=f3+f2=3,f5=f4+f3=5…

繁殖問題通常與斐波那契數列有聯絡。類似題：母牛的故事。

可得遞推式：

f (n

)=n & n<=4 \\ f(n-1)+f(n-3) & n>4 \end\right.

f(n)

==f_+f_ \quad(a+2<=n<=b)

fn=fn

−1+

fn−2

(a+

2<=n

<=b

)邊界條件為fa=fa+1=1。

漢諾塔問題

法國數學家愛德華·盧卡斯曾編寫過乙個印度的古老傳說：在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的聖廟裡，一塊黃銅板上插著三根寶石針。印度教的主神梵天在創造世界的時候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有乙個僧侶在按照下面的法則移動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。僧侶們預言，當所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸於盡。

這裡用遞迴更好理解（僅此而已，遞推效率更高），也能求通項公式

以y桿為中介，將前n-1個圓盤從x杆移到z杆(本身就是乙個n-1的漢諾塔問題了！)

將第n個圓盤移到y杆

以x桿為中介，將z桿上的n-1個圓盤移到y杆(本身就是乙個n-1的漢諾塔問題了！)

設f(n)為將n片圓盤所在塔全部移動到另一塔最少總次數；由遞迴演算法可知：f(1) = 1;當n>1時，f(n) = f(n-1) + 1 + f(n-1)。計算可得通項公式：f(n)=2n-1. (n>0)

有了遞推公式f(n)=2*f(n-1)+1，遞迴就完了(數太大了，注意資料型別是ull)

關於ull：

unsigned long long型別是目前c語言中精度最高的資料型別，可以用來表示20以內的階乘資料，20以外的自測。

unsigned long long的精度是64位，double或者long double 雖然也占有8個位元組，但是他們的實際精度只有53位。

使用 %llu 就可以列印乙個unsigned long long資料了

#include
unsigned
long
long
hanoi
(int n)
intmain()

倒序輸出正整數

先進後出，可以用棧實現（並不會）

例：給出正整數 n=12345，以各位數的逆序形式輸出，即輸出54321。

遞迴思想：首先輸出這個數的個位數，然後再輸出前面數字的個位數，直到之前沒數字。

數列的遞迴表示式：

f (n

)=\operatorname(n \% 10), & \mathrm<10 \\ \operatorname(n \% 10) ; f(n / 10), & \mathrm>=10 \end\right.

f(n)

=python最省事的就是切片：

print(str(s)[: : -1])

遞迴遞推區別分析與例題總結

遞迴與遞推的區別

遞迴遞推總結

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遞迴遞推總結

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