卡特蘭數
問題：n對括號有多少種合法的匹配方式？（卡特蘭數的常見應用之一）
結論：對於n對括號，合法的排列共有c（n,2n）-c（n+1,2n）
基本思路：
考慮n對括號，有n個（和n個），對於任意乙個）其前面必定有乙個（跟他對應，如果沒有則是非法序列。也就是說，對於），其前面的（的數量必須大於等於）的數量。假設（=1，）=-1。合法的序列是 1 -11 -1 1 -1，不合法的序列是1 -1 -1 1 1 -1。n對括號的全排列數為c（n，2n），減掉那些不合法的排列數就得到了合法的排列數，那麼不合法的排列數怎麼得到呢？觀察上面不合法的序列1 -1 -1 1 1 -1，從第3個數開始，）的個數比（大1，因此，後面的(的個數也會比)大1。我們把1到3的數翻轉一下，變成-1 1 1 1 1 -1，得到乙個有n+1個1，n-1個-1的序列。這樣的序列總共有c（n-1，2n）或者c（n+1,2n）種。
我們可以得出這樣乙個結論：對於所有有n+1個1，n-1個-1的序列，都存在乙個轉折點k，在k之前1的數量比-1的數量大1，在k之後1的數量比-1的數量大1。我們只需要從第1個到第k個元素翻轉回去，就能變成對於有n個1，n個-1的情況下的非法排列。因此我們可以得到非法排列的個數為c（n，2n）-c（n+1，2n）。
卡特蘭數公式
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式：h(n)= h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2) + … +h(n-1)h(0) (n>=2)
另類遞推式[2]：h(n)=h(n-1)(4n-2)/(n+1);
遞推關係的解為：h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)
遞推關係的另類解為：h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)
可以利用卡特蘭數解決的常見問題：
乙個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?
在nn的格仔中，只在下三角行走，每次橫或豎走一格，有多少中走法？
將乙個凸n+2邊形區域分成三角形區域的方法數？
圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數？
有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？
卡塔蘭數**：
#include
#include
int a[
105]
[1000];
//大數運算
int b[
105]
;//儲存對應卡特蘭數有多少位
void
catalan()
//求卡特蘭數
while
(carry)
//進製處理
carry =0;
for(j = len-
1; j >=
0; j--
)//除法
while
(!a[i]
[len-1]
)//高位零處理
len --
; b[i]
= len;}}
intmain()
printf
("\n");
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