10秒！看清導數與微分的關係

先上**，理清導數與微分的區別在哪。

定義幾何意義

表達公式

關係導數

設函式y=f(x)在x0點的某一鄰域內有定義，當自變數x在x0點有增量δx，函式y相應有增量δy=f(x0+δx)-f(x0)。若函式的增量與自變數的增量之比當δx→0時的極限存在，則稱函式y=f(x)在x0點處可導，該極限值稱為函式f(x)在x0點處的導數

導數是函式在某點的變化率f』(x)=dy/dx

微分函式y=f（x）在點x0的增量可表示為δy=f(x0+δx)-f(x0)=aδx+ο（δx）稱函式y=f(x)在點x0可微，而aδx稱為f(x)在點x0的微分，記作dy或df，即dy=aδx

函式y=f(x)在x點的微分等於曲線在該點的切線的縱座標的增量dy=f′(x)dx

函式的導數 = 函式的微分與自變數微分之商. 因此，導數又稱微商.

由上表可以得出乙個結論：

知道導數之後，求微分自然也就沒問題了，微商

1.2 洛必達法則

二、導數推出函式的特徵

一、導數推出的定理與法則

1.1 微分中值定理

1.1.1 費馬引理

[費馬（fermat）引理]　

通過證明函式的每乙個極值都是駐點（函式的導數在該點為零），該定理給出了乙個求出可微函式的最大值和最小值的方法。因此，利用費馬引理，求函式的極值的問題便化為解方程的問題。

1.1.2 羅爾定理

1.1.3 拉格朗日中值定理

1.1.4 柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是中值定理的一般形式。它敘述為：如果函式 f 和 g 都在閉區間[a,b] 上連續，且在開區間 (a,b) 上可微，那麼存在某個 c ∈ (a,b),使得

1.2 洛必達法則

洛必達法則是利用導數來計算具有不定型的極限的方法。該法則以法國數學家紀堯姆·德·洛必達的名字命名，但實際上是由瑞士數學家約翰·伯努利所發現。

洛必達法則可以求出特定函式趨近於某數的極限值。

二、導數推出函式的特徵

2.1 函式的單調性

2.2 函式的極值

在數學中，極大值與極小值（統稱極值）是指在乙個域上函式取得最大值（或最小值）的點的函式值。而使函式取得極值的點（的橫座標）被稱作極值點。這個域既可以是乙個鄰域，又可以是整個函式域（這時極值稱為最值）。

求全域性極值是最優化方法的目的。對於一元二階可導函式，求極值的一種方法是求駐點，也就是求一階導數為零的點。如果在駐點的二階導數為正，那麼這個點就是區域性最小值；如果二階導數為負，則是區域性最大值；如果為零，則還需要進一步的研究。

一般地，如果在駐點處的一階、二階、三階……直到n階導數都是零，而n+1階導數不為零，則當n奇數且n+1階導數為正時，該點為極小值；當n是奇數且n+1階導數為負時，該點為極大值；如果n是偶數，則該點不是極值。

如果這個函式定義在乙個有界區域內，則還要檢查局域的邊界點。如果函式在定義域內存在不可導點，則這些不可導點也可能是極值

2.3 函式曲線的凹凸性和拐點、漸近線

2.3.1 拐點

拐點（英語：inflection point）或稱反曲點，是一條連續曲線改變凹凸性的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。

2.3.2 凹凸性

2.3.3 漸近線