最近事情好多，忙著做期末作業去了，好長時間沒更新了。之後盡量周更或者一周兩篇。dtft（離散時間傅利葉變換）——序列的傅利葉變換
這一部分主要講dtft，序列的傅利葉變換。先看定義
「dtft」是「discrete time fourier transformation」的縮寫，中文術語是「離散時間傅利葉變換」。傳統的傅利葉變換（ft）一般只能用來分析連續時間訊號的頻譜，而計算機只會處理離散的數字編碼訊息，所以現代社會需要對大量的離散時間序列訊號進行傅利葉分析。dtft就是it領域中對離散時間訊號進行頻譜分析的數學工具之一。該式是dtdt的定義式，可以看成x（e^jw）的傅利葉級數展開，其傅利葉係數為x（n）.
離散時間傅利葉反變換：
序列x(n)絕對可和是其傅利葉變換存在的充分條件，在此條件下，滿足一致收斂。
序列x(n)能量有限（平方可和）也是其傅利葉變換存在的充分條件，此時滿足均方收斂。一致收斂一定滿足均方收斂，而均方收斂不一定滿足一致收斂。
理想低通濾波器、理想線性濾波器、理想90度移相器三者的單位衝激響應都是和1/n呈比例的，因而都不是絕對可和，而是均方可和的，它們的傅利葉變換也都是在均方誤差為零的意義上均方收斂於h（e^jw）.
序列的傅利葉變換實際上是序列在單位圓上的z變換（當序列的z變換在單位圓上收斂時）
（1）線性
（2）序列的移位：時域的移位對應於頻域有乙個相位移
（3）乘以指數序列：時域乘以an，對應於頻域用(1/a)ejw代替e^jw
（4）乘以復指數序列（調製性）：時域的調製對應於頻域位移。
（5）時域卷積定理：時域的線性卷積對應於頻域的相乘。
（6）頻域卷積定理：時域的加窗（即相乘）對應於頻域的週期性卷積並除以2π
（7）序列的線性加權：時域的線性加權對應於頻域的一階導數乘以j
（8）帕塞瓦定理：時域的總能量等於頻域的總能量
（9）序列的翻褶：時域的翻褶對應於頻域的翻褶。
（10）序列的共軛：時域取共軛對應於頻域的共軛且翻褶
（1）任何乙個復序列x(n)可以分解成共軛對稱序列和共軛反對稱序列之和
（2）序列的離散時間傅利葉變換x（e^jw）可以分解為共軛對稱函式與共軛反對稱函式之和
（3）序列及其傅利葉變換的共軛對稱分量、共軛反對稱分量及實部虛部的關係可以歸納為
（4）任何乙個序列也可表示成偶序列與奇序列之和
由於n趨於∞時，週期性序列不趨於零，所以它不是絕對可和的，也不是均方可和的，因而它的傅利葉變換既不是一致收斂的，也不是均方收斂的。然而，當引入衝激函式後，它的傅利葉變換就可以存在。
（1）復指數序列（復正弦型序列）e^jω0n的傅利葉變換，是以ω0為中心，以2π的整數倍為間距的一系列衝激函式，每個衝激函式的積分面積為2π
（2）常數序列的傅利葉變換是以ω=0為中心，以2π的整數倍為間隔的一系列衝激函式，每個衝激函式的積分面積為2π
（3）週期為n的單位抽樣序列，其傅利葉變換是頻率在2π/n的整數倍上的一系列衝激函式之和，每個衝激函式的積分面積為2π/n
（4）一般週期性序列的傅利葉變換是頻率在2n/n的整數倍上的一系列衝激函式。
離散時間傅利葉變換（dtft）是特殊的z變換，在數學和訊號分析中具有重要的理論意義。但在用計算機實現運算方面比較困難。這是因為，在dtft的變換對中，離散時間序列在時間n上是離散的，但其頻譜在數字角頻率ω上卻是連續的週期函式。而計算機只能處理變數離散的數碼訊號。
本文的參考書依然是程佩青先生的《數字訊號處理教程（第五版）》，這一部分所佔的篇幅並不大，但dtft確實應該單獨用一文來總結。dtft和dft、ft以及拉氏變換、z變換都有聯絡和差異，也值得我們去關心，書中的一些總結較為詳細且公式較多，故在此不多作總結。
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