面試題62 圓圈中最後剩下的數字

面試題62：0,1,n-1這n個數字排成乙個圓圈，從數字0開始，每次從這個圓圈裡刪除第m個數字。求出這個圓圈裡剩下的最後乙個數字。

例如，0、1、2、3、4這5個數字組成乙個圓圈，從數字0開始每次刪除第3個數字，則刪除的前4個數字依次是2、0、4、1，因此最後剩下的數字是3。

示例 1：

輸入: n = 5, m = 3

輸出: 3

示例 2：

輸入: n = 10, m = 17

輸出: 2

限制：1 <= n <= 10^5

1 <= m <= 10^6

約瑟夫環問題：

使用list模擬迴圈鍊錶，用cur作為指向list的下標位置。

當cur移到list末尾直接指向list頭部，當刪除乙個數後list的長度和cur的值相等則cur指向0

leecode超時，牛客通過

/*
struct listnode
*/class
solution
//構建第m個迭代器的下乙個迭代器
list<
int>
::iterator next =
++current;
if(next == nums.
end())
next = nums.
begin()
;--current;
//whlie中每次真正做的事情
nums.
erase
(current)
;            current = next;
//迴圈變數
}return
*current;
//返回最後剩下的數}}
;

參考

使用動態規劃。我們注意到，輸入的序列在刪除乙個元素後，序列的長度會改變，如果索引

在被刪除的元素位置開始計算，那麼每刪除乙個元素，序列的長度減一而索引會完全改變。

如果能找到改變前的索引和新索引的對應關係，那麼該問題就容易解決了。

我們定義乙個函式f(n, m)，表示每次在n個數字0,1,2,3,…,n-1中每次刪除第m個數字後剩下

的數字。那麼第乙個被刪除的數字的索引是(m-1)%n。刪除該索引元素後，剩下的n-1個數字

為0,1,2,…,k-1,k+1,…,n-1。下次刪除數字是從k+1位置開始，於是可以把序列看

作k+1,…,n-1,0,1,…,k-1。該序列最後剩下的序列也是f的函式。但該函式和第乙個函式

不同，存在對映關係，使用f』來表示，於是有：f(n, m)=f』(n-1, m)。接下來需要找到對映關係。

k+1 --> 0

k+2 --> 1..

.n-1 --> n-k-2

0 --> n-k-1..

.k-1 --> n-2

所以可以得到：right = left-k-1，則p(x) = (x-k-1)%n，而逆對映是p』(x) = (x+k+1)%n

即0 ~ n-1序列中最後剩下的數字等於（0~n-2序列中最後剩下的數字+k）%n，很明顯當n=1時，

只有乙個數，那麼剩下的數字就是0.問題轉化為動態規劃問題，關係表示為：

f(n)=(f(n-1)+m)%n；當n=1,f(1)=0;

數學歸納法證明：

遞推公式：f(n,m)=[f(n-1,m)+m]%n，其中f(i,j)表示當問題規模為i，報數長度為j時最後勝利者的編號。

證明：使用數學歸納法進行證明。

當n=1時，f(1,m)=0，因為編號從0開始且只有乙個人，勝利者編號顯然為0。

當n=2時，序列為0,1，若m為奇數，則勝利者編號為1；若m為偶數，則勝利者編號為0，易有f(2,m)=m%2=(0+m)%2=[f(1,m)+m]%2，結論成立。

假設當n=i-1時結論成立，即對於序列0,1,2,…,i-2而言，最後的勝利者編號為f(i-1,m)。

當n=i時，序列為0,1,2,…,i-1。設第一輪的淘汰者編號為k（若m%i=0，則k=i-1，否則k=m%i-1），則序列可表示為0,1,2,…,k-1,k,k+1,…,i-1。第一輪淘汰k，餘下的序列x』為k+1,…,i-1,0,1,…,k-1，問題規模變為i-1。

因為由歸納假設，當n=i-1時，對於序列x:0,1,2,…,f(i-1,m),…,i-2，勝利者編號為f(i-1,m)。由於x』=(x+k+1)%i，故f(i,m)=[f(i-1,m)+k+1]%i。當m%i=0時，k+1=i，[f(i-1,m)+k+1]%i=[f(i-1,m)+i]%i=f(i-1,m)%i+0=f(i-1,m)%i+m%i=[f(i-1,m)+m]%i；當m%i!=0時，k+1=m%i，[f(i-1,m)+k+1]%i=[f(i-1,m)+m%i]%i=[f(i-1,m)+m]%i。故當n=i時，結論成立。

綜上，命題成立。

感想：因為當n=i-1時，對於序列x:0,1,2,…,f(i-1,m),…,i-2，勝利者編號為f(i-1,m)。對於問題規模為i時，經過第一輪淘汰，得到序列x』。只要能夠發現x與x』間的對應關係，由f(i-1,m)就能得到f(i,m)。

class
solution
};

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