動態規劃 01揹包完全揹包

有一類動態規劃可解的問題，它可以描述稱為若干有序的階段，且每個階段的狀態只和上乙個階段的狀態有關，一般把這類問題稱為多階段規劃問題。

01揹包問題描述如下：

有 n 件物品，每件物品的重量為 w[i]，價值為 c[i]。現有乙個容量為 v 的揹包，問如何選取物品放入揹包，使得揹包內物品的總價值最大。其中每種物品都只有一件。

例子：5 8 // 5 件物品，容量為 8

3 5 1 2 2 // w[i] 重量

4 5 2 1 3 // c[i] 價值

如果採取暴力搜尋的方法，每件物品都有兩種選擇，因此 n 件物品就有 2n，而o（ 2n）的時間複雜度完全是不能接受的。而使用動態規劃可以將複雜度將為 o（nv）。

令dp[i][v]表示前 i 件物品恰好裝入容量為 v 的揹包中所能獲得的最大價值。那怎麼求解dp[i][v]呢？

考慮第 i 件物品的選擇策略，有兩種策略：

由於只有這兩種策略，所以狀態轉移方程為

dp[i][v] = max

由於dp[i][v]只與之前的狀態dp[i-1]有關，所以可以列舉 i 從 1 到 n，v 從 0 到 v，通過邊界dp[0][v] = 0（即前 0 件物品放入任何容量 v 的揹包中都只能獲得價值 0）就可以把整個 dp 陣列遞推出來。而dp[i][v]表示的恰好為 v 的情況，所以需要列舉dp[n][v]取其最大值。

因此可以寫出**：

for
(int i =
1; i <= n; i++
)}

時間複雜度和空間複雜度都是 o（nv），時間複雜度不能再優化，但空間複雜度還可以優化。

注意到狀態轉移方程中計算dp[i][v]總是需要dp[i-1][v]左側部分的資料（即正上方和左上方的資料），且當計算dp[i+1]時，dp[i-1]的資料又用不到了（只需要用dp[i]），所以我們可以直接開乙個一維陣列dp[v]！列舉方向從 1 到 n，v 從 v 到 0 （逆序），這樣，狀態轉移方程為：

dp[v] = max

[外鏈轉存失敗,源站可能有防盜煉機制,建議將儲存下來直接上傳(img-kje9kwb6-1584931877976)(./img/01bag.png)]

可以這樣理解，dp[i][v]左上角的資料和dp[i][v]右邊的資料放在同乙個陣列裡面，每次計算出乙個dp[i][v]，將相當於把dp[i-1][v]覆蓋掉，因為之後的計算不需要再用到了。我們把這種技巧稱為滾動陣列。

**如下：

for
(int i =
1; i <= n; i++
)}

這樣就可以用一維陣列解決了，空間複雜度為 o(v)。

特別說明：如果用二維陣列存放，v 的列舉順序是順序還是逆序無所謂，如果用到一維陣列，v 的列舉就必須是逆序！

完整求解 01 揹包**如下：

#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int maxn =
1010
;int c, n;
// 最大報銷錢數，菜品數量
int v[maxn]
, p[maxn]
;// 菜的評價分數，菜的**
int dp[maxn]
;// dp陣列
intmax
(int a,
int b)
intmain()
fill
(dp, dp + maxn,0)
;// 初始化為 0
for(
int i =
0; i < n; i++)}
printf
("%d\n"
, dp[c]);
}return0;
}/*author: veeupup
點菜問題，01 揹包
input:
90 4
20 25
30 20
40 50
10 18
40 2
25 30
10 8
output:
9538
*/

01 揹包中的每個物品都可以看作乙個階段，這個階段的狀態有dp[i][0] ~ dp[i][v]，它們均由上乙個階段的狀態得到。事實上，對於能夠劃分階段的問題來說，都可以嘗試把階段作為狀態的一維，這可以方便的得到滿足無後效性的的狀態。如果當前的設計不滿足無後效性，那麼不妨把狀態進行公升維，即增加一維或若干維來表示相應的資訊，這樣可能就滿足無後效性了。

完全揹包問題描述如下：

有 n 中物品，每種物品的單件重量為 w[i]，價值為 c[i]。現在有乙個容量為 v 的揹包，問如何選取物品放入揹包，使得揹包內物品的總價值最大。每件物品都有無窮件。

和 01 揹包唯一不同的地方就在於物品有了無數件，同樣使用動態規劃：

設定乙個二維陣列，dp[i][v]表示前 i 件物品恰好裝入容量為 v 的揹包中所能獲得的最大價值。陣列dp[n][m]的值就是完全揹包問題的解。

和 0-1 揹包一樣，只考慮第 i 件物品時，可將情況分為是否放入第 i 件物品兩種情況：

所以狀態轉移方程為：

dp[i][j] = max

邊界：dp[0][v] = 0

其實唯一的區別就在於 max 的第二個引數換成了 dp[i] 而不是 dp[i-1]，所以同樣可以寫成一維形式：

dp[v] = max

寫成一維形式之後和 01 揹包完全相同，唯一的區別在於此處是正向列舉，而 01 揹包中的一維形式必須是逆向列舉，完全揹包的一維形式**如下：

for
(int i =
1; i <= n; i++
)}

正向列舉是因為求解dp[i][v]總是需要它左邊的dp[i][v-w[i]]和它上方的dp[i-1][v]，顯然如果 v 從小到大列舉，dp[i][v-w[i]]就總是計算出的結果，而計算出dp[i][v]之後就再也用不到dp[i-1][v]了，所以必須正向列舉。

[外鏈轉存失敗,源站可能有防盜煉機制,建議將儲存下來直接上傳(img-xvwjahjl-1584931877977)(./img/wanquanbag.png)]

完全揹包**如下：

/*
author: veeupup
點菜問題，01 揹包
input:
90 4
20 25
30 20
40 50
10 18
40 2
25 30
10 8
output:
9538
*/#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int maxn =
1010
;int c, n;
// 最大報銷錢數，菜品數量
int v[maxn]
, p[maxn]
;// 菜的評價分數，菜的**
int dp[maxn]
;// dp陣列
intmax
(int a,
int b)
intmain()
fill
(dp, dp + maxn,0)
;// 初始化為 0
for(
int i =
0; i < n; i++)}
printf
("%d\n"
, dp[c]);
}return0;
}

搞懂 01 這些經典的動態規劃問題，就能夠理解動態規劃的意義所在了。

動態規劃 01揹包完全揹包

動態規劃揹包問題（01揹包完全揹包）

總結動態規劃 01揹包完全揹包

動態規劃之01揹包，完全揹包，多重揹包

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