01揹包問題，是用來介紹動態規劃演算法最經典的例子。
f[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重為 j 的揹包中，可以取得的最大價值。
pi表示第i件物品的價值。
決策：為了揹包中物品總價值最大化，第 i件物品應該放入揹包中嗎 ？（0/1的選擇)
題目描述：
有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？
name
weight
value12
3456
78910
a260
6699
1212
151515b
2303
3669
991011c6
5000
6666
61011d
5400
0666
661010e4
6000
6666
666只要你能通過找規律手工填寫出上面這張表就算理解了01揹包的動態規劃演算法。
首先要明確這張表是自上向下，從左到右生成的。(也可以從上往下，只是為了便於觀察，理解）
為了敘述方便，用e2單元格表示e行2列的單元格，這個單元格的意義是用來表示只有物品e時，有個承重為2的揹包，那麼這個揹包的最大價值是0，因為e物品的重量是4，揹包裝不了。
對於d2單元格，表示只有物品e，d時,承重為2的揹包,所能裝入的最大價值，仍然是0，因為物品e,d都不是這個揹包能裝的。
同理，c2=0，b2=3,a2=6。
對於承重為8的揹包，a8=15,是怎麼得出的呢？
根據01揹包的狀態轉換方程，需要考察兩個值，
乙個是f[i-1,j],對於這個例子來說就是b8的值9，另乙個是f[i-1,j-wi]+pi；
在這裡，
f[i-1,j]表示我有乙個承重為8的揹包，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值
f[i-1,j-wi]表示我有乙個承重為6的揹包（等於當前揹包承重減去物品a的重量），當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值
f[i-1,j-wi]就是指單元格b6,值為9，pi指的是a物品的價值，即6
由於f[i-1,j-wi]+pi = 9 + 6 = 15 大於f[i-1,j] = 9，所以物品a應該放入承重為8的揹包
#includeusing namespace std;
#define v 1500
unsigned int f[10][v];//全域性變數，自動初始化為0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)
int main()
for (int i=1; i<=n; i++)
for (int j=1; j<=m; j++)
else
f[i][j]=f[i-1][j];
} cout<
可以進一步優化記憶體使用。上面計算f[i][j]可以看出，在計算f[i][j]時只使用了f[i-1][0……j]，沒有使用其他子問題，因此在儲存子問題的解時，只儲存f[i-1]子問題的解即可。這樣可以用兩個一維陣列解決，乙個儲存子問題，乙個儲存正在解決的子問題。
再進一步思考，計算f[i][j]時只使用了f[i-1][0……j]，沒有使用f[i-1][j+1]這樣的話，我們先計算j的迴圈時，讓j=m……1，只使用乙個一維陣列即可。
for i=1……n
for j=m……1
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])
[cpp] view plain copy
#includeusing namespace std;
#define v 1500
unsigned int f[v];//全域性變數，自動初始化為0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)
int main()
for (int i=1; i<=n; i++)
for (int j=m; j>=1; j--)
} cout《在看完01揹包問題，再來看完全揹包問題：乙個揹包總容量為v，現在有n個物品，第i個 物品體積為weight[i]，價值為value[i]，每個物品都有無限多件，現在往揹包裡面裝東西，怎麼裝能使揹包的內物品價值最大？
對比一下，看到的區別是，完全揹包問題中，物品有無限多件。往揹包裡面新增物品時，只要當前揹包沒裝滿，可以一直新增。那麼狀態轉移方程為：
f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]]+k*value[i+1])，其中0<=k<=v/weight[i+1]
使用記憶體為一維陣列，偽**
for i=1……n
for j=1……m
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])
和01揹包問題唯一不同的是j是從1到m。01揹包問題是在前乙個子問題（i-1
種物品）的基礎上來解決當前問題（i
種物品），向i-1種物品時的揹包新增第i種物品；而完全揹包問題是在解決當前問題（i種物品），向i種物品時的揹包新增第i種物品。
**如下：
#includeusing namespace std;
#define v 1500
unsigned int f[v];//全域性變數，自動初始化為0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)
int main()
for (int i=1; i<=n; i++)
for (int j=1; j<=m; j++)
} cout<
多重揹包問題是0-1揹包問題和完全揹包問題的綜合體，可以描述如下：從n種物品向容積為v的揹包裝入，其中每種物品的體積為w，價值為v，數量為k，問裝入的最大價值總和？
我們知道0-1揹包問題是揹包問題的基礎，所以在解決多重揹包問題的時候，要將多重揹包向0-1揹包上進行轉換。在多重揹包問題中，每種物品有k個，可以將每種物品看作k種，這樣就可以使用0-1揹包的演算法。但是，這樣會增加資料的規模。因為該演算法的時間複雜度為o(v*∑ni
=1ki)，所以要降低每種物品的數量ki。
九度教程上給出了一種方法，將原數量為k的物品拆分成若干組，每一組可看成一件新的物品，其價值和重量為改組中所有物品的價值重量的總和，每組物品包含的原物品個數分別為：1、2、4,...2^n (k,k*2,k*2^2,k*2^3...)(k=1)。這樣就將物品數量大大降低，同時通過對這些若干個原物品組合得到的新物品的不同組合，可以得到0到k之間的任意件物品的價值重量和，所以對所有這些新物品做0-1揹包，即可得到多重揹包的解。轉化之後的時間複雜度為o(v*∑ni
=1log2(ki))。
想一想為什麼可以把一種物品的數量轉換為二進位制的這種方式呢？
我們的轉換，是為了減少計算的次數，列舉十分浪費時間，所以我們想怎樣才能節省時間，還能準確的表示出之前的不同數量呢？我們想到了二進位制，1111這就能表達16中情況，所以我們想著把數量轉換成二進位制的表示，我們的k就是表示每一位的權值，這樣的話，我們向上列舉1111....,總會到達這個數，然後我們因為只有1，所以會有剩下的，再另外開出一組來，就好了。想想這些數量的表示，他可以直接對數字進行二進位制的表示，這樣就大大降低了要計算的數量。
揹包九講**
動態規劃 01揹包 完全揹包
有一類動態規劃可解的問題，它可以描述稱為若干有序的階段，且每個階段的狀態只和上乙個階段的狀態有關，一般把這類問題稱為多階段規劃問題。01揹包問題描述如下 有 n 件物品，每件物品的重量為 w i 價值為 c i 現有乙個容量為 v 的揹包，問如何選取物品放入揹包，使得揹包內物品的總價值最大。其中每種...
01揹包 完全揹包 多重揹包
01揹包 zeroonepack 有n件物品和乙個容量為v的揹包，每種物品均只有一件。第i件物品的費用是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。include include includeusing namespace std const int n 1000 10 int ...
01揹包 完全揹包 多重揹包
01揹包 zeroonepack 有n件物品和乙個容量為v的揹包。每種物品均只有一件 第i件物品的費用是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。完全揹包 completepack 有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c i 價值是w i 求...