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有限差分方法(fdm)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將 求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以taylor級 數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函式值的差商代替進行離散，從而 建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數 問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。 對於有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分 的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可 以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式 的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用於有結構網格，網格的步 長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。
構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達 式主要有三種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等， 其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾 種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法的基礎是變分原理和加權餘量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函式的插值點，將微分 方程中的變數改寫成由各變數或其導數的節點值與所選用的插值函式組成的線性表示式 ，借助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函式和插值函式形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用於結構力學，後來隨著計算機的發展慢慢用於流體力學的數值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連線的單元，在每個單元內選擇基函式，用單元基函式的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函式可以看為由每個單元基函式組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。在河道數值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權餘量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據所採用的權函式和插值函式的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函式的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形 網格，從插值函式的精度來劃分，又分為線性插值函式和高次插值函式等。不同的組合 同樣構成不同的有限元計算格式。對於權函式，伽遼金(galerkin)法是將權函式取為逼近函式中的基函式 ；最小二乘法是令權函式等於餘量本身，而內積的極小值則為對代求係數的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域 內選取n個配置點 。令近似解在選定的n個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程餘量為0。插值函式一般由不同次冪的多項式組成，但也有採用三角函式或指數函式組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函式。有限元插值函式分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數值在插值點取已知值，稱為哈密特(hermite)多項式插值。單元座標有笛卡爾直角座標系和無因次自然座標，有對稱和不對稱等。常採用的無因次座標是一種區域性座標系，它的定義取決於單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對於二維三角形和四邊形電源單元，常採用的插值函式為有lagrange插值直角座標系中的線性插值函式及二階或更高階插值函式、面積座標系中的線性插值函式、二階或更高階插值函式等。
對於有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為
(1)建立積分方程，根據變分原理或方程餘量與權函式正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表示式，這是有限元法的出發點。
(2)區域單元剖分，根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連線、不重疊的單元。區域單元劃分是採用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關係之外，還要表示節點的位置座標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。
(3)確定單元基函式，根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條 件的插值函式作為單元基函式。有限元方法中的基函式是在單元中選取的，由於各單元 具有規則的幾何形狀，在選取基函式時可遵循一定的法則。
(4)單元分析：將各個單元中的求解函式用單元基函式的線性組合表示式進行逼近；再將 近似函式代入積分方程，並對單元區域進行積分，可獲得含有待定係數(即單元中各節點 的引數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。
(5)總體合成：在得出單元有限元方程之後，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進 行累加，形成總體有限元方程。
(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對於自然邊界條件， 一般在積分表示式中可自動得到滿足。對於本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法 則對總體有限元方程進行修正滿足。
(7)解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，採用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函式值。
有限體積法（finite volume method）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重複的控制體積，並使每個網格點周圍有乙個控制體積；將待解的微分方程對每乙個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用區域性近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。
有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就 是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控 制體積中的守恆原理一樣。 限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆；而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出準確的積分守恆。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函式），並將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函式只用於計算控制 體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函式；如果需要的話，可以對微分方程 中不同的項採取不同的插值函式。
有限元法 有限差分法 有限體積法
有限元法也叫有限單元法 finite element method,fem 是隨著電子計算機的發展而迅速發展起來的一種彈性力學問題的數值求解方法。五十年代初，它首先應用於連續體力學領域 飛機結構靜 動態特性分析中，用以求得結構的變形 應力 固有頻率以及振型。由於這種方法的有效性，有限單元法的應用已從...
有限元法，有限差分法和有限體積法的區別
有限差分方法 fdm 是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函式值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微...
有限元法基本思想和分類
1 有限元法基本思想 有限元法是在連續體上直接進行近似計算的一種數值方法，其基本思想通過下面的例子來說明。圖1簡答說明了早期數學上求解圓面積的近似方法。首先將連續的圓分割成一些三角形，求出每個三角形的面積，再將每個小三角形面積相加，即可得到圓面積的近似值。前面是 分 的過程，後面是 合 的過程。之所...