1有限元法分析工程實際問題的一般過程
應用有限元分析工程實際問題的一般過程如圖1所示。次過程可以分為三個階段，即前處理、分析和後處理。
有限元分析的第一階段是把現實生活中的結構工程問題轉化為可供計算機分析的有限元模型。有限元模型的合理性、正確性將直接影響計算分析結果與工程實際之間的距離。這一過程稱為有限元分析的前處理過程，通常稱為有限元建模過程。
有限元建模主要包括三方面的內容：一是要構造計算物件的幾何模型，即確定所求問題的型別，建立分析物件的力學模型；二是要劃分有限元網格，包括單元型別的選擇，網格的布局；三是要生成有限元分析的輸入資料，主要包括材料與邊界條件資料。建立乙個符合工程要求的力學模型，不僅要有寬廣的力學知識和工程背景知識，還取決
於有限元計算經驗的積累和對分析物件來接的深入程度。
有限元分析過程主要是建立各類問題的有限元方程，並求解這些方程。通過單元分析、
整體分析、載荷移置、引力約束即可得到有限元方程，這是有限元分析的核心內容。而對所建立的有限元方程，選擇合適的方法求解，也是有限元理論重點內容。
後處理主要包括計算結果的加工處理、計算結果的圖形顯示、計算結果的列印。它把有
限元分析得到的資料轉化為設計人員直接需要的資訊，如應力分布狀況、結構變形狀態等，從而幫助設計人員快速地評價和校核設計方案。
對於僅適用有限元商用軟體解決工程實際問題的技術人員，有限元軟體提供乙個數值分析的黑箱，其主要工作體現在前處理與後處理兩個方面。但是如果沒有有限元理論的基本知識，面對軟體中許多選擇或引數確定會感到束手無策、無所適從、甚至會使數值分析結果完全偏離工程實際，給出錯誤結論。
2單位位移函式的選取與收斂性分析
2.1選擇位移函式的一般原則
有限元法的分析過程都依賴於假定的單元位移函式或位移模式。在連續體彈性力學有限元法中，一般找不到真實的位移場，所以只能得到近似解答。
單元的位移函式一般採用以包括若干待定引數的多項式作為近似函式，稱為位移多項式。有限項多項式選取的原則應考慮以下幾點：
(1)待定引數是由節點場變數確定的，因此待定引數的個數應用單元的自由度數相同。
(2)對於應變由位移的一階導數確定的場問題，選取多項式時，常數項和座標的一次項必須完備。位移函式中常數項和座標的一次項分別反映了單元剛體和常應變的特性，當劃分的單元數趨近於無窮時，單元趨於無窮小，此時單元應變趨於常應變。而當節點位移是由某個剛體位移引起時，彈性體內不應該有應變，這些特性必須在選擇在選擇位移多項式中予以體現。同理，對於應變由位移的二階導數定義的場問題，常數項、一次項和二次項必須完備。
(3)多項式的選取應由低階到高階，盡量選取完整性階數高的多項式以提高單元精度(稱為單元的完備性)。若由於項數限制不能選取完整多項式，選取的多項式應盡可能具有座標的對稱性(稱為幾何不變性)。
2.2收斂性
有限元法是一種數值方法，因此應考慮該方法的收斂性問題。有限元法的收斂性是指：當網格逐漸加密時，有限元解答的序列收斂到精確解；或者，當單元尺寸固定時，每個單元的自由度數越多，有限元的解答就越趨近於精確解。有限元法的收斂條件包括如下四個方面：
(1)在單元內，位移函式必須連續。多項式是單值連續函式，因此選擇多項式作為位移函式，在單元內的連續性能夠保證。
(2)在單元內，位移函式必須包括常應變項。每個單元的應變狀態總可以分解為不
依賴於單元內各點位置的常應變和由各點位置決定的變數應變。當單元尺寸足夠小時，單元中各點的應變趨於相等，單元的變形比較均勻，因而常應變就成為應變的主要部分。為反應單元的應變狀態，單元位移函式必須包括常應變項。
(3)在單元內，位移函式必須包括剛體位移項。一般情況下，單元內任一點的位移包括形變位移和缸體位移兩部分。形變位移與物體形狀及體積的改變聯絡，因而產生應變；剛體位移只改變物體位置，不改變物體的形狀和體積，即剛體位移是不產生形變的位移。空間乙個物體包括三個平動位移和三個轉動位移，共有六個剛體位移分量。
由於乙個單元牽連在另一些單元上，其他單元發生變形時必須帶動該單元做剛體位移。如圖2所示的懸臂梁，自由端單元跟隨相鄰單元作剛體位移。由此可見，為模擬乙個單元的真實位移，假定的單元位移函式必須包括剛體位移項。
(4)位移函式在相鄰單元的公共邊界上必須協調。對一般單元面而言，協調性是指相鄰單元在公共節點處有相同的位移，而且煙單元邊界也有相同的位移，也就是說，要保證不發生單元的相互脫離開裂和相互侵入重疊。要做到這一點，就要求位移函式在公共邊界上能由公共節點的函式值唯一確定。對一般單元，協調性保證了相鄰單元邊界位移的連續性。但是，在板殼的相鄰單元之間，還要求位移的一階導數連續，只有這樣才能保證結構的應變能是有界量。
在實際應用中，要使選擇的位移函式全部滿足完備性和協調性要求是比較困難的，在某些情況下可以放鬆對協調性的要求。在工程實踐中，非協調單元必須通過「小片試驗」後才可使用。
2.3有限元解的下限性質
在用有限元位移法求解彈性力學問題時，要應用最小勢能原理。根據最小勢能原理求解的位移近似解，其值將小於精確解。這種位移近似解稱為下限解。
位移解的下限性質可以解釋如下：單元原是連續體的一部分，具有無限多個自由度。在假定了單元的位移函式後，自由度限制為只有以節點位移表示的有限自由度，即位移函式對單元的變形進行了約束的限制，使單元的剛度較實際連續體加大了，因此連續體的整體剛度隨之增加，離散後的剛度比實際剛度大，求得的位移近似解總體上(而不是每一點)將小於精確解。
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