Eigen密集矩陣求解 2 求解最小二乘系統

本篇介紹如何使用eigen求解線性最小二乘系統。

乙個系統可能無精確的解，比如ax=b的線性方程序，不存在解。這時，找到乙個最接近的解x，使得偏差ax-b盡可能地小，能夠滿足誤差要求error-margin。那這個x就稱為最小二乘解。

這裡討論3個方法： svd分解法，qr分解法，和規範等式。這中間，svd分解法精度最高，但效率最差；規範式最快但精度最小；而qr分解法居中。

使用eigen中的bdcsvd類的的solve()方法，就能直接解出線性二乘系統了。但對奇異值計算，這樣並不足夠，你也會需要計算奇異向量。

示例如下，其使用了matrix的bdcsvd()方法來建立乙個bdcsvd類的例項：

#include

#include
using
namespace std;
using
namespace eigen;
intmain()

$ g++ -i /usr/local/include/eigen3  matrix_svd1.cpp -o matrix_svd1

$ $ ./matrix_svd1 
here is the matrix a:
-0.999984 -0.0826997
-0.736924  0.0655345
0.511211  -0.562082
here is the right hand side b:
-0.905911
0.357729
0.358593
the least-squares solution is:
0.46358
0.0429898

matrixxf a = matrixxf::

random(3
,2);
vectorxf b = vectorxf::
random(3
);cout <<
"the solution using the qr decomposition is:\n"
<< a.
colpivhouseholderqr()
.solve
(b)<< endl;

bax = b

ax=b

⇒ atax

=atb

a^tax = a^tb

atax=a

tb， 這裡對矩陣a有要求，ata

a^ta

ata結果為方陣，如果矩陣的條件比較病態，則計算可能會急劇變大，考慮matrixxf(1000,2)，需要計算乙個1000x1000的矩陣了。

下面示例：

//matrix_decom_norm.cpp

#include
#include
using
namespace std;
using
namespace eigen;
intmain()

$ g++ -i /usr/local/include/eigen3  matrix_decom_norm.cpp -o matrix_decom_norm

$ ./matrix_decom_norm 
a:  -0.999984 -0.0826997
-0.736924  0.0655345
0.511211  -0.562082
b: -0.905911
0.357729
0.358593
the solution using normal equations is:
0.463581
0.0429899

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