分位數（quantile），亦稱分位點，是指將乙個隨機變數的概率分布範圍分為幾個等份的數值點，常用的有中位數（即二分位數）、四分位數、百分位數等。
任意乙個累計分布函式 f(x
)f(x)
f(x)
，滿足 f(x
^)=σ
,σ∈(
0,1)
f(\hat) = \sigma, \sigma\in (0,1)
f(x^)=
σ,σ∈
(0,1
) 的 x
^\hat
x^，稱為分布 f
ff 的分位數。
σ
\sigma
σ 的含義是該分布中小於x
^\hat
x^的數佔比為σ
\sigma
σ，即p(x
)=σp(xp(x
)=σ。
給定乙個平穩時間序列，我們通常為考慮回歸出它的均值。但在更一般的情況下，我們希望回歸出樣本對應分布的分位點，因為分位點更能反映出分布的性質。
下面用乙個例子來說明：
可以直接畫出經驗概率分布函式
在概率分布函式上找分位點太容易了，在縱軸上確定σ
\sigma
σ，回到橫軸上找x
^\hat
x^在一般的時間序列**問題中，我們通常是用乙個函式取擬合序列，通常學習到的函式是對真實樣本均值的估計。
有沒有辦法讓學習函式去逼近真實樣本的分位點呢？
只需要使用如下損失函式：
l (y
,y^)
=σmax(y
−y^,
0)+(
1−σ)
max(y
^−y,
0)l(y,\hat) = \sigma\max (y-\hat,0) + (1-\sigma)\max(\hat-y,0)
l(y,y^
)=σ
max(y−
y^,
0)+(
1−σ)
max(y^
−y,
0)∂ l(
y,y^
)∂y^
=−σi
(y−y
^)+(
1−σ)
i(y^
−y)\frac)}} = -\sigma\mathbb)} + (1-\sigma)\mathbb-y)}
∂y^∂l
(y,y
^)
=−σi
(y−y
^)+
(1−σ
)i(y
^−y
)其中 y
^\hat
y^ 是輸出，y
yy 為目標值。
可以看出，提出下降法很好地找到了序列的分位點，和直接用概率分布函式的結果一致。
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