1143 最長公共子串行

給定兩個字串 text1 和 text2，返回這兩個字串的最長公共子串行。

乙個字串的子串行是指這樣乙個新的字串：它是由原字串在不改變字元的相對順序的情況下刪除某些字元（也可以不刪除任何字元）後組成的新字串。

例如，「ace」是「abcde」的子串行，但「aec」不是「abcde」的子串行。兩個字串的「公共子串行」是這兩個字串所共同擁有的子串行。

若這兩個字串沒有公共子串行，則返回 0。

示例 1:

輸入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 輸出：3 解釋：最長公共子串行是 "ace"，它的長度為 3。

示例 2:

輸入：text1 = "abc", text2 = "abc" 輸出：3 解釋：最長公共子串行是 "abc"，它的長度為 3。

示例 3:

輸入：text1 = "abc", text2 = "def" 輸出：0 解釋：兩個字串沒有公共子串行，返回 0。

1 <= text1.length <= 1000
1 <= text2.length <= 1000
輸入的字串只含有小寫英文本元。

最長公共子串行（longest common subsequence，簡稱 lcs）是一道非常經典的面試題目，因為它的解法是典型的二維動態規劃，大部分比較困難的字串問題都和這個問題乙個套路，比如說編輯距離。而且，這個演算法稍加改造就可以用於解決其他問題，所以說 lcs 演算法是值得掌握的。

題目就是讓我們求兩個字串的 lcs 長度。

肯定有讀者會問，為啥這個問題就是動態規劃來解決呢？因為子串行型別的問題，窮舉出所有可能的結果都不容易，而動態規劃演算法做的就是窮舉 + 剪枝，它倆天生一對兒。所以可以說只要涉及子串行問題，十有**都需要動態規劃來解決，往這方面考慮就對了。

下面就來手把手分析一下，這道題目如何用動態規劃技巧解決。

第一步，一定要明確dp陣列的含義。對於兩個字串的動態規劃問題，套路是通用的。

比如說對於字串s1和s2，一般來說都要構造乙個這樣的 dp table：

為了方便理解此表，我們暫時認為索引是從 1 開始的，待會的**中只要稍作調整即可。其中，dp[i][j]的含義是：對於s1[1..i]和s2[1..j]，它們的 lcs 長度是dp[i][j]。

比如上圖的例子，d[2][4]的含義就是：對於"ac"和"babc"，它們的 lcs 長度是 2。我們最終想得到的答案應該是dp[3][6]。

第二步，定義 base case。

我們專門讓索引為 0 的行和列表示空串，dp[0][..]和dp[..][0]都應該初始化為 0，這就是 base case。

比如說，按照剛才 dp 陣列的定義，dp[0][3]=0的含義是：對於字串""和"bab"，其 lcs 的長度為 0。因為有乙個字串是空串，它們的最長公共子串行的長度顯然應該是 0。

第三步，找狀態轉移方程。

這是動態規劃最難的一步，不過好在這種字串問題的套路都差不多，權且借這道題來聊聊處理這類問題的思路。

狀態轉移說簡單些就是做選擇，比如說這個問題，是求s1和s2的最長公共子串行，不妨稱這個子串行為 lcs。那麼對於s1和s2中的每個字元，有什麼選擇？很簡單，兩種選擇，要麼在lcs中，要麼不在。

這個「在」和「不在」就是選擇，關鍵是，應該如何選擇呢？這個需要動點腦筋：如果某個字元應該在lcs中，那麼這個字元肯定同時存在於s1和s2中，因為lcs是最長公共子串行嘛。所以本題的思路是這樣：

用兩個指標i和j從後往前遍歷s1和s2，如果s1[i]==s2[j]，那麼這個字元一定在lcs中；否則的話，s1[i]和s2[j]這兩個字元至少有乙個不在lcs中，需要丟棄乙個。先看一下遞迴解法，比較容易理解：

def longestcommonsubsequence
(str1, str2)
->
int:
def dp
(i, j)
:        # 空串的 base case
if i ==
-1 or j ==-1
:return
0if str1[i]
== str2[j]
:            # 這邊找到乙個 lcs 的元素，繼續往前找
return
dp(i -
1, j -1)
+1else
:            # 誰能讓 lcs 最長，就聽誰的
return
max(
dp(i-
1, j),dp
(i, j-1)
)    # i 和 j 初始化為最後乙個索引
returndp(
len(str1)-1
,len
(str2)-1
)

對於第一種情況，找到乙個lcs中的字元，同時將ij向前移動一位，並給 lcs 的長度加一；對於後者，則嘗試兩種情況，取更大的結果。

其實這段**就是暴力解法，我們可以通過備忘錄或者 dp table 來優化時間複雜度，比如通過前文描述的 dp table 來解決：

class
solution
return dp[len1]
[len2];}
}

對於兩個字串的動態規劃問題，一般來說都是像本文一樣定義 dp table，因為這樣定義有乙個好處，就是容易寫出狀態轉移方程，dp[i][j]的狀態可以通過之前的狀態推導出來：

找狀態轉移方程的方法是，思考每個狀態有哪些「選擇」，只要我們能用正確的邏輯做出正確的選擇，演算法就能夠正確執行。

1143 最長公共子串行

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