劍指Offer 面試題47 禮物的最大價值

面試題47：禮物的最大價值

題目：在乙個m×n的棋盤的每一格都放有乙個禮物，每個禮物都有一定的價值（價值大於0）。你可以從棋盤的左上角開始拿格仔裡的禮物，並每次向左或者向下移動一格直到到達棋盤的右下角。給定乙個棋盤及其上面的禮物，請計算你最多能拿到多少價值的禮物？

例如，在下面的棋盤中，如果沿著帶下劃線的數字的線路（1、12、5、7、7、16、5），那麼我們能拿到最大價值為53的禮物。

這是乙個典型的能用動態規劃解決的問題。我們先用遞迴的思路來分析。我們先定義第乙個函式 f(i,j)表示到達座標為(i,j)的格仔時能拿到的禮物總和的最大值。根據題目要求，我們有兩種可能的途徑到達座標為(i,j)的格仔:通過格仔(i-1, j)或者(i, j-1)。所以 f(i, j)=max(f(i-1, j), f(i, j-1))+gift[i, j]。gift[i, j]表示座標為(i, j)的格仔裡禮物的價值。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
intgetmaxvalue_solution1
(const
int* values,
int rows,
int cols)
for(
int i=
0;iint maxvalue=maxvalues[rows-1]
[cols-1]
;for
(int i=
0;i)delete
maxvalues[i]
;delete
maxvalues;
return maxvalue;
}int
main()
;printf
("%d"
,getmaxvalue_solution1
(value,4,
4));
return0;
}

接下來我們考慮進一步的優化。前面我們提到，到達座標(i, j)的格仔時能夠拿到的禮物的最大價值只依賴(i-1, j)和(i, j-1)的兩個格仔，因此第 i-2 行及更上面的所有格仔禮物的最大價值實際上沒有必要儲存下來。我們可以用乙個一維陣列來替代前面**中的二維矩陣 maxvalue。該一維陣列的長度為棋盤的列數 n。當我們計算到達座標為(i, j)的格仔時能夠拿到的禮物的最大價值 f(i, j)，陣列中前 j 個數字分別是 f(i, 0)，f(i, 1)，……，f(i, j-1)，陣列從下標為 j 的數字開始到最後乙個數字，分別為 f(i-1, j)，f(i-1, j+1)，……，f(i-1, n-1)。也就是說，該陣列前面 j 個數字分別是當前第 i 行前面 j 個格仔禮物的最大價值，而之後的數字分別儲存前面第 i-1 行 n-j 個格仔禮物的最大價值。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
intgetmaxvalue_solution2
(const
int* values,
int rows,
int cols)
}int maxvalue=maxvalues[cols-1]
;delete
maxvalues;
return maxvalue;
}int
main()
;printf
("%d"
,getmaxvalue_solution2
(value,4,
4));
return0;
}

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