problem description
醫學界發現的新病毒因其蔓延速度和internet上傳播的"紅色病毒"不相上下,被稱為"紅色病毒",經研究發現,該病毒及其變種的dna的一條單鏈中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成對出現的。
現在有一長度為n的字串,滿足一下條件:
(1) 字串僅由a,b,c,d四個字母組成;
(2) a出現偶數次(也可以不出現);
(3) c出現偶數次(也可以不出現);
計算滿足條件的字串個數.
當n=2時,所有滿足條件的字串有如下6個:bb,bd,db,dd,aa,cc.
由於這個資料肯能非常龐大,你只要給出最後兩位數字即可.
input
每組輸入的第一行是乙個整數t,表示測試例項的個數,下面是t行資料,每行乙個整數n(1<=n<2^64),當t=0時結束.
output
對於每個測試例項,輸出字串個數的最後兩位,每組輸出後跟乙個空行.
sample input41
420113
142460
sample output
case 1: 2
case 2: 72
case 3: 32
case 4: 0
case 1: 56
case 2: 72
case 3: 56
分析看他給的資料每個資料最多可以到264，而且還有多組資料，說明log(n)的演算法肯定是不行了，也就是說不能從1掃瞄到n，所以考慮直接通過n求出最後的答案。
同樣的，我們嘗試找一下規律，
當n = 1時，有兩種情況，b 和 d
當n = 2時，有六種情況，bb , bd , db , dd , aa 和 cc
實際上這裡發現b和d應該是同一種東西(但aa和cc不應該視作同一種東西，它能夠出現bdbd的情況，也能出現acac的情況)，
有n個位置能放的話，那麼就沒有a和c的情況下，就有2n個方案，因為a和c的總和必須是偶數，然後我想到的是從n中拿出偶數個放上a和c，剩下的放上b和d。我嘗試寫出寫出了以下式子，
當n = 4時，ans = 24 + c4
2 * 2 * 22 + c4
4 * 23 * 20
在n = 4 的情況下，我就把情況分成了三種，
沒有a和c的情況，只有b和d，那麼就應該是24種
有兩個a和c，那麼只能是aa或cc兩種，剩下的兩個也有22種排列，所以那就是c4
2 * 2 * 22種情況
都是a和c，那麼就可以組合出aacc , acac , caca, ccaa，aaaa , cccc , acca , caac八種情況，實際上就是2n-1種情況（這裡分析見文末）
再把上述幾種情況加起來就得到了 ans = 72 的結論，發現和題目給的是一樣的，然後我又算了乙個當n = 6的情況，同樣和題目給的條件符合。抽象出公式，
ans = 2n + cn
2 * 21 * 2n-2 + cn
4 * 23 * 2n-4 + … + cn
n * 2n-1 * 2n-n
然後發現算式能夠化簡成為，
ans = 2n + 2n-1 * (cn
2 + cn
4 + … + cn
n-2 + cn
n)
後面的組合數還能夠再次化簡，
ans = 2n + 2n-1 * (2n-1 - 1)
所以，ans = 2n + 22n-2 - 2n-1
ans = 4n-1 + 2n-1
然後題目要求出ans的最後兩位，我們知道ab末尾兩位是迴圈的，這裡列出迴圈節，2n = [1,2,4,8,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36,72,44,88,76,52,4,8,16,32,64,28,56,12]，後面都是迴圈前面的內容，因此2n-1末尾兩個數字可以在o(1)的時間求得。同理，4n = [1,4,16,64,56,24,96,84,36,44,76,4,16,64,56,24]，4n的數值也可以在o(1)求得。
所以在這裡，能夠直接通過題目給的數字n求得答案，時空複雜度都是o(1)。我當時怎麼就沒想到快速冪，快速冪似乎也挺方便的喂
完整**如下，
#include
using
namespace std;
typedef
long
long ll;
ll a[66]
,b[30];
intcalcn
(ll n)
intmain()
for(
int i =
10; i <
20; i++
)int e;
while(~
scanf
("%d"
,&e)
,e)puts(""
);}return0;
}
當時也想到了兩個迴圈節函式相加，那麼所得的答案也應該有迴圈節，乙個迴圈節20乙個迴圈節10，所以實際上最後的答案也有個迴圈節是20…所以只要從1寫到30就能發現這個規律了吧那可能要算死。
然後再來想想對於n位長度，都是a和c並且a和c必須是偶數（可以為零），他應該有多少種可能性，
用n = 4舉例，
首先在4中選出0個a，那麼剩下都是c，這是一種情況
然後在4中選出2個a，那麼還有2個c，這就有c4
2種情況
最後在4中選出4個a，那麼沒有c，這又是一種情況
推廣到n，算式應該如下
idx = cn
0 + cn
2 + cn
4 + … + cn
n = 2n-1
這個idx就是最上面式子中
ans = 2n + cn
2 * 21
* 2n-2 + cn
4 * 23
* 2n-4 + … + cn
n * 2n-1
* 2n-n
至此這道題就算解完了。
hdu 2065 紅色病毒 問題
複習母函式，發現這道題可以用矩陣快速冪。然後做了一下 母函式 看起來好複雜的樣子 列dp方程，構造矩陣 dp n dp i 0 表示放到了第i位，前i位中有 偶數個a，有 偶數個c dp i 1 表示放到了第i位，前i位中有 奇數個a，有 偶數個c dp i 2 表示放到了第i位，前i位中有 偶數個...
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思路 先暴力打個表，然後找規律.include includeint main int b 5 4 int64 n,m while scanf d t eof t printf n return 0 description 醫學界發現的新病毒因其蔓延速度和internet上傳播的 紅色病毒 不相上下...