尼姆博弈（nimm game）:
有任意堆物品，每堆物品的個數是任意的，雙方輪流從中取物品，每一次只能從一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最後一件物品的人獲勝。
分析：我們先來看假設有三堆物品時的情況
這種情況最有意思，它與二進位制有密切關係，我們用（a，b，c）表示某種局勢，則前幾種奇異局勢如下：
第一種是（0，0，0），此時無論是誰面對該局勢，都必敗
第二種是（0，n，n），此時只要與對手拿走一樣多的物品，最後都將導致（0，0，0）出現。比如對手在這種情況下，其於第二堆物品中先取走k個物品，即局勢變為（0，n-k，n），那麼輪到我們的時候，我們就在第三堆中也取走k個物品，即局勢變為（0，n-k，n-k）。這樣不斷重複下去，最終對手總會先把某堆物品取光，那麼等到我的回合時我再將剩餘那一堆的物品取光。於是最終出現奇異局勢（0，0，0）給對方
接下來分析一下當三堆物品均不為0時的第乙個奇異局勢：（1，2，3），此時無論先手怎麼拿，接下來對手都可以將其變為（0，n，n）的情形，從而使得對方輸掉比賽。比如：
若先手在第一堆中取走1個物品，即局勢變為（0，2，3），那麼後手就在第三堆中取走1個物品，使局勢變為（0，2，2）。此時出現局勢（0，n，n）給對方；
若先手在第二堆中取走1個物品，即局勢變為（1，1，3），那麼後手就在第三堆中取走3個物品，使局勢變為（1，1，0）。此時出現局勢（n，n，0）給對方；
若先手在第二堆中取走2個物品，即局勢變為（1，0，3），那麼後手就在第三堆中取走2個物品，使局勢變為（1，0，1）。此時出現局勢（n，0，n）給對方；
若先手在第三堆中取走1個物品，即局勢變為（1，2，2），那麼後手就在第一堆中取走1個物品，使局勢變為（0，2，2）。此時出現局勢（0，n，n）給對方；
若先手在第三堆中取走2個物品，即局勢變為（1，2，1），那麼後手就在第二堆中取走2個物品，使局勢變為（1，0，1）。此時出現局勢（n，0，n）給對方；
若先手在第三堆中取走3個物品，即局勢變為（1，2，0），那麼後手就在第二堆中取走1個物品，使局勢變為（1，1，0）。此時出現局勢（n，n，0）給對方；
在離散數學中有一種邏輯運算叫做「異或」，其算術符號為「⊕」
這個運算的法則是「相同為0，不同為1」，即1⊕1=0，0⊕0=0，而1⊕0=1，0⊕1=1
我們來看一下奇異局勢（1，2，3）在進行異或運算之後的結果：
首先先將1（二進位制為01）和2（二進位制為10）進行異或運算：
0110
——11
然後將得到的結果再與3（二進位制為11）進行異或運算：
1111
——00
發現最終的結果為0
對於奇異局勢（0，n，n）也一樣，結果也是0
實際上，我們不難發現，對於任何奇異局勢（a，b，c）都有a⊕b⊕c = 0
因此對於某個給出的局勢(a,b,c)，我們判斷其是否為奇異局勢的方法就是判斷a⊕b⊕c是否為0
注意到對於任何數a，都有a⊕a=0
且根據異或運算的結合律和交換律我們不難得到 a⊕b⊕(a⊕b)=(a⊕a)⊕(b⊕b)=0⊕0=0
所以從乙個非奇異局勢向乙個奇異局勢轉換的方式可以是：
① 使 a = c⊕b
② 使 b = a⊕c
③ 使 c = a⊕b
比如說對於某個局勢（14，21，39）
由於14⊕21=27，而39-27=12，所以從39中拿走12個物體即可達到奇異局勢（14，21，27）
又比如說對於局勢（55，81，121）
由於55⊕81=102，而121-102=19，所以從121中拿走19個物品就形成了奇異局勢（55，81，102）
總結：以上談論的全都是關於n=3時的情況，而實際上，我們把n(n≥3)推廣，對於上述的推理依然是成立的
即，判斷某個局勢(a1,a2,……,an)是否為奇異局勢，我們的方法是將a1⊕a2⊕……⊕an
若得到的結果為0則說明其為乙個奇異局勢，否則不是
而將乙個非奇異局勢轉換為乙個奇異局勢轉換的方法可以是：
(1) 使 a1 = a2⊕……⊕an
……(i) 使 ai = a1⊕……⊕a(i-1)⊕a(i+1)……⊕an
……(n) 使 an = a1⊕……⊕an-1
—— 經典題型 ——
hdu2176 取(m堆)石子遊戲
問題描述
m堆石子,兩人輪流取，只能在1堆中取，取完者勝。先取者負輸出no，先取者勝輸出yes，然後輸出怎樣取子。例如5堆 5,7,8,9,10先取者勝,先取者第1次取時可以從有8個的那一堆取走7個剩下1個,也可以從有9個的中那一堆取走9個剩下0個,也可以從有10個的中那一堆取走7個剩下3個。
輸入資料
輸入有多組。每組第1行是m(m<=200000)，後面m個非零正整數，m=0時退出。
輸出資料
先取者負輸出no，先取者勝輸出yes，然後輸出先取者第1次取子的所有方法。如果從有a個石子的堆中取若干個後剩下b個後會勝就輸出a b。參看樣例輸出
樣例輸入
245 45
33 6 9
55 7 8 9 10
0樣例輸出
noyes
9 5yes
8 19 0
10 3
分析：這道題是實際就是尼姆博弈
題目的要求是，對於其輸入的某個局勢先判斷其是否為奇異局勢
是則表示先手必輸，輸出」no」；反之則先手必勝，輸出」yes」
對於非奇異局勢，還要求你將所有的能讓該非奇異局勢轉換為奇異局勢的方案都輸出
比如對於局勢（3，6，9），由於該局勢為非奇異局勢，故先手必勝，因此需要先輸出」yes」
接著在這個局勢中，發現只有將9變為5才能使得該非奇異局勢變為奇異局勢(3,6,5)
故還需要再在下一行輸出」9 5」
顯然，本題的難點也正是在這個輸出取子方案上
首先要知道，判斷某個局勢(a1,a2,……,an)是非為奇異局勢的方法是將a1⊕a2⊕……⊕an
如果得到的結果為0就說明該局勢是奇異局勢
而轉換方案是：
(1) 使 a1 = a2⊕……⊕an
……(i) 使 ai = a1⊕……⊕ai-1⊕ai+1……⊕an
……(n) 使 an = a1⊕……⊕an-1
那麼我們在判斷了某個局勢是否奇異之後，就可以通過列舉的方式來把上面的 a1-an都求出來，從而得到某個ai應該剩下多少才能形成乙個奇異局勢
但是需要注意的是，並不是對於每個求出的ai都是可以的
比如說對於局勢(3,6,9)，可以很容易算出a1= a2⊕a3 = 6⊕9 = 15
但是15>3，我們顯然無法將第一堆中的物品(3個)拿成15個，因此我們還需要對每個列舉出的結果進行判斷，而判斷的正是a1⊕……⊕ai-1⊕ai+1……⊕an是否小於初始局勢中的對應的ai
對於計算ai，這裡也有個技巧。我們不必在每次的列舉中都計算a1⊕……⊕ai-1⊕ai+1……⊕an，這樣顯然極易超時。實際上，我們在一開始就把a1⊕……⊕an的結果放進某個變數var中，在之後求某個ai時，僅僅只需要用var⊕ai就可以了（根據異或運算的性質：n⊕n=0,n⊕0=n）：
var ⊕ ai = (a1⊕……⊕ai-1⊕ai⊕ai+1⊕……⊕an ) ⊕ ai
= a1⊕……⊕ai-1⊕ (ai⊕ai) ⊕ai+1⊕……⊕an
= a1⊕……⊕ai-1⊕ 0 ⊕ai+1⊕……⊕an
= a1⊕……⊕ai-1⊕ai+1⊕……⊕an = ai
下面直接給出本題的完整**：
#include
using
namespace std;
const
int max=
200010
;int ary[max]
;int
main()
if(var==
0) cout<<
"no"
return0;
}
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