spfa（shortest path faster algorithm）演算法，是西南交通大學段凡丁于 1994 年發表的，其在 bellman-ford 演算法的基礎上加上乙個佇列優化，減少了冗餘的鬆弛操作，是一種高效的最短路演算法。
設立乙個佇列用來儲存待優化的頂點，優化時每次取出隊首頂點 u，並且用 u 點當前的最短路徑估計值dist[u]對與 u 點鄰接的頂點 v 進行鬆弛操作，如果 v 點的最短路徑估計值dist[v]可以更小，且 v 點不在當前的佇列中，就將 v 點放入隊尾。這樣不斷從佇列中取出頂點來進行鬆弛操作，直至佇列空為止。（所謂的鬆弛操作，簡單來說，對於頂點 i，把dist[i]調整更小。更多解釋請參考百科：鬆弛操作)
而其檢測負權迴路的方法也很簡單，如果某個點進入佇列的次數大於等於 n，則存在負權迴路，其中 n 為圖的頂點數。
#include #include #include using namespace std;
int matrix[100][100]; // 鄰接矩陣
bool visited[100]; // 標記陣列
int dist[100]; // 源點到頂點 i 的最短距離
int path[100]; // 記錄最短路的路徑
int enqueue_num[100]; // 記錄入隊次數
int vertex_num; // 頂點數
int edge_num; // 邊數
int source; // 源點
bool spfa()
queueq;
q.push(source);
dist[source] = 0;
visited[source] = 1;
enqueue_num[source]++;
while (!q.empty())}}
}}
return true;
}void print()
cout << "--" << source << endl;}}
}int main()
if (spfa())
print();
else
cout << "存在負權迴路!\n";
return 0;
}
/* test 1 */
請輸入圖的頂點數，邊數，源點：5 7 0
請輸入 7 條邊的資訊：
0 1 100
0 2 30
0 4 10
2 1 60
2 3 60
3 1 10
4 3 50
0 到 1 的最短距離是：70，路徑是：1--3--4--0
0 到 2 的最短距離是：30，路徑是：2--0
0 到 3 的最短距離是：60，路徑是：3--4--0
0 到 4 的最短距離是：10，路徑是：4--0
/* test 2 */
請輸入圖的頂點數，邊數，源點：4 6 0
請輸入 6 條邊的資訊：
0 1 20
0 2 5
3 0 -200
1 3 4
3 1 4
2 3 2
存在負權迴路!
對於乙個不存在負權迴路的圖，設其頂點數為 n，我們把圖稍微「轉換」下，如下圖 a：
其中 k≤n-1，當 k=n-1 時，即為上圖 b。
每操作完乙個批次的點，至少有乙個點的最短路徑被確定。這裡讀者只需從 dijkstra 演算法方面來考慮即可。dijkstra 每次迴圈都找出dist裡的最小值，可以對應到這裡的每個批次。
乙個不存在負權迴路的圖，最多有 n-1 個批次，每做完乙個批次至少有乙個點的最短路徑被確定，即乙個點的入隊次數不超過 n-1。因為若乙個頂點要入佇列，則必存在一條權值之和更小的路徑，而在最多做完 n-1 個批次後，所有頂點的最短路徑都被確定。（這裡需要注意的是，如果乙個批次中，有多條路徑對某頂點進行更新，則該頂點只會被入隊一次，這從**就可以看出）
對於乙個不存在負權迴路的圖，我們假設其頂點數為 n，邊數為 m。
引自 spfa **：考慮乙個隨機圖，運用均攤分析的思想，每個點的平均出度為 $o(\frac m n)$，而每個點的平均入隊次數為 2，因此時間複雜度為 $o(n⋅\frac m n⋅2)=o(2m)=o(m)$。
關於上述的「平均入隊次數為 2」，2 這個數字從何得來，我也找不到證明，從網上各位朋友對此的一致態度：尚待商榷。但是可以確定的是，spfa 演算法在隨機圖中的平均效能是優於 bellman_ford 演算法的。
spfa 的最佳時間複雜度為 $o(n)$。比如上圖 b，每個點只入隊一次。
接著再看下 spfa 的最差時間複雜度，它發生在乙個完全圖中，如下圖（為突出重點，其餘邊未畫出），
我們約定，0 點為源點，每次更新完 k 點出隊後，k+1 點都可以再次對 k 點進行更新併入隊，其中。1≤ k≤ n-2 那麼我們得出：
0 點，入隊 1 次；
1 點，入隊 n-1 次；
2 點，入隊 n-2 次；
3 點，入隊 n-3 次；
.n-2 點，入隊 2 次；
n-1 點，入隊 1 次；
因為是完全圖，所以每個點的出度為 n-1，因此總的時間複雜度為：
$$ (n-1)⋅[1+1+2+3+...+(n-2)+(n-1)]=o(n^3) $$
由於是完全圖，也可以表達成 $o(nm)$。很容易看出，spfa 演算法的時間複雜度很不穩定。
單源最短路徑（3） SPFA 演算法
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單源最短路徑 SPFA演算法
求單源最短路徑的spfa演算法在bellman ford演算法的基礎上進行了改進，使其在能夠計算帶負權圖的單源最短路徑的基礎上，時間複雜度大幅度降低。時間複雜度 o k e k 2 基本演算法 設立乙個先進先出的佇列來儲存待優化的節點，優化時每次取出隊首節點u，並且用u點當前的最短路徑估計值對離開u...
Spfa單源最短路徑演算法
spfa 全稱shortest path faster algorithm，是求單源最短路徑的一種演算法.跟dijkstra類似，但是有一些不一樣。由於本人弱，不知道 有區別，請各位大神補充 我們來建乙個圖。首先，我們用e陣列表示各邊的關係，如下是初始狀態。我們開乙個dis陣列來儲存1號點到各點的最...