SPFA演算法最短路徑

spfa演算法——最短路徑

粗略講講spfa

演算法的原理，spfa演算法是2023年西安交通大學段凡丁提出

是一種求單源最短路的演算法

演算法中需要用到的主要變數

int n; //表示n個點，從1到n標號

int s,t; //s為源點，t為終點

int d[n]; //d[i]表示源點s到點i的最短路

int p[n]; //記錄路徑（或者說記錄前驅）

queue q; //乙個佇列，用stl實現，當然可有手打佇列，無所謂

bool vis[n]; //vis[i]=1表示點i在佇列中 vis[i]=0表示不在佇列中

幾乎所有的最短路演算法其步驟都可以分為兩步

1.初始化

2.鬆弛操作

初始化： d陣列全部賦值為inf（無窮大）；p陣列全部賦值為s（即源點），或者賦值為-1，表示還沒有知道前驅

然後d[s]=0; 表示源點不用求最短路徑，或者說最短路就是0。將源點入隊；

（另外記住在整個演算法中有頂點入隊了要記得標記vis陣列，有頂點出隊了記得消除那個標記）

佇列+鬆弛操作

讀取隊頭頂點u，並將隊頭頂點u出隊（記得消除標記）；將與點u相連的所有點v進行鬆弛操作，如果能更新估計值（即令d[v]變小），那麼就更新，另外，如果點v沒有在佇列中，那麼要將點v入隊（記得標記），如果已經在佇列中了，那麼就不用入隊

以此迴圈，直到隊空為止就完成了單源最短路的求解

spfa可以處理負權邊

定理: 只要最短路徑存在，上述spfa演算法必定能求出最小值。

證明：每次將點放入隊尾，都是經過鬆弛操作達到的。換言之，每次的優化將會有某個點v的最短路徑估計值d[v]變小。所以演算法的執行會使d越來越小。由於我們假定圖中不存在負權迴路，所以每個結點都有最短路徑值。因此，演算法不會無限執行下去，隨著d值的逐漸變小，直到到達最短路徑值時，演算法結束，這時的最短路徑估計值就是對應結點的最短路徑值。（證畢）

期望的時間複雜度o(ke)，其中k為所有頂點進隊的平均次數，可以證明k一般小於等於2。

判斷有無負環：

如果某個點進入佇列的次數超過n次則存在負環（spfa無法處理帶負環的圖）

spfa的兩種寫法，bfs和dfs，bfs判別負環不穩定，相當於限深度搜尋，但是設定得好的話還是沒問題的，dfs的話判斷負環很快

int spfa_bfs(ints)}
}}return
ok;}

int spfa_dfs(int
u)else
return1;
}}vis[u]=0
;return0;
}

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SPFA演算法 最短路徑

最短路徑演算法 SPFA

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