有限元分析的一些基本考慮-----單元形狀對於計算精度的影響
宋博士的部落格
筆者發現，在分析複雜問題時，我們所可能出現的錯誤，竟然是一些很根本的錯誤，這些根本錯誤是由於對有限元的基本理論理解不清晰而造成的。
鑑於這個原因，筆者決定對一些基本問題（例如單元形狀問題，單元大小問題，應力集中問題等）展開調查，從而形成了一系列文章，本篇文章是這些系列文章中的第一篇。
我們知道，單元形狀對於有限元分析的結果精度有著重要影響，而對單元形狀的衡量又有著諸多指標，為便於**，這裡首先只討論第乙個最基本的指標：長寬比（四邊形單元的最長尺度與最短尺度之比），而且僅考慮平面單元的長寬比對於計算精度的影響。
為此，我們給出乙個成熟的算例。該算例是一根懸臂梁，在其端麵施加豎直向下的拋物線分布載荷，我們現在考察用不同尺度的單元劃分該梁時，對於a點位移的影響。
這五種不同的劃分方式，都使用矩形單元，只不過各單元的長寬比不同。
例如第一種（1）ar=1.1，就是長寬比接近1；
第二種（2）ar=1.5,就是長寬比是1.5.其它類推。
第五種（5）ar=24，此時單元的長度是寬度的24倍。
現在我們看看按照這五種單元劃分方式對於a點位移的影響，順便我們也算出了b點的位移，結果見下表。
我們現在仔細檢視一下上表，並分析其含義。
我們先考慮第一行，它是第一種單元劃分情況，此時每個單元的長寬比是1.1，由此我們計算出a點，b點的垂直位移，可以看到，a點的豎直位移是-1.093英吋，而b點的豎直位移是-0.346英吋。而這兩點我們都是可以用彈性力學的方式得到精確解的，其精確解分別是-1.152以及-0.360.這樣，我們可以得到此時a點位移誤差的百分比是
[(-1.093)-(-1.152)]/1.152 = 5.2%.
對於其它情況，也採用類似的方式得到a點位移誤差的百分比。
從上表可以看出來，隨著長寬比的增加，位移誤差越來越大，竟然大到56%。因此，如果我們是用長寬比為24的單元進行劃分的話，那麼我們的結果可以說是完全錯誤的。
下面按照上表繪製出一張圖，該圖從形象的角度表達了上表的含義。
由此可見，長寬比越接近於1，那麼結算結果越精確，越遠離1，則誤差越大。
因此我們在進行有限元分析時，應該盡量保證劃分的單元長寬比接近1，這意味著，如果我們使用了四邊形單元，則最好是正方形單元；如果使用了三角形單元，則最好是等邊三角形。
當然，對於乙個複雜的零件而言，我們很難保證每個單元都滿足這些要求，但是，我們一定要確保，在我們所關注的地方，例如應力最大的地方，單元形狀要接近這一點，否則，我們得到的解就是不可相信的。
但是上述結果也告訴我們，即便是最好形狀的單元（情況1，長寬比為1.1），結果的計算精度也不容樂觀，其誤差達到5.2%,那麼，我們可以得到更高精度的解答嗎？
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