無窮小的性質
無窮小的比較
在某個變化過程中，f(x
)f(x)
f(x)
趨於0，則f(x
)f(x)
f(x)
是該變化過程中的無窮小量，簡稱無窮小。
注意：除了0以外的常數都不是無窮小，無窮小是變化過程中趨於0的函式或者變數
只需充分接近趨近區間時滿足函式值趨於0即可。
在單個變化過程中趨於無窮的函式，稱為在該變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大。
無窮大與無窮小互為倒數。
f (x
)f(x)
f(x)
為無窮大，則1f(
x)
\frac
f(x)1
為無窮小。
f (x
)f(x)
f(x)
為無窮小且不為0，則1f(
x)
\frac
f(x)1
為無窮大
一般函式極限可以通過無窮小來加以描述。
在同一變化過程中，若：
lim f
(x)=
a，
limα=
0\lim f(x)=a，\lim\alpha=0
limf(x
)=a，
limα=0
則f (x
)=a+
αf(x)=a+\alpha
f(x)=a
+α這個定理多用於證明中，如證明函式極限的四則運算，證明夾逼定理等。
有限個無窮小之和是無窮小
無窮小與有界變數的乘積是無窮小
有限個無窮小的乘積還是無窮小
無窮小與常數的乘積還是無窮小
設α ,β
\alpha,\beta
α,β是同一變化過程中不同的無窮小。
趨於0的速度：高階》同階
c>1時同階》等價；否則相反
同時，若α
\alpha
α與βk
\beta^k
βk是同階無窮小，則α
\alpha
α是β\beta
β的k階無窮小
α
\alpha
α與β\beta
β互為等價無窮小的充分必要條件：
β =α
+o(α
)\beta=\alpha+o(\alpha)
β=α+o(
α)等價無窮小代換
等價無窮小可以在乘法和除法中代換。如：α
\alpha
α~α′
\alpha'
α′,β
\beta
β~β′
\beta'
β′，則limα
β=α′
β′
\lim\frac=\frac
limβα
=β′α
′lim α
β=
limα′
β′
\lim\alpha\beta=\lim\alpha'\beta'
limαβ=
limα′β
′ x趨於0時的常用代換無窮小：
高階無窮小代換
等價無窮小無法在加減中代換，但是可以借用等價無窮小的充分必要條件，使用保留差異項的代換也就是高階無窮小和等價無窮小的和代換。
如limx
→0ln
(1+x
)21+
x−
sinx2
−2
=limx
→0x2
[x2+
o1(x
2)]−
[x2+
o2(x
2)]=
limx→
021+
2o1(
x2)x
2−o2
(x2)
x2=2
\lim_ \frac-\sin\frac-2}=\lim_\frac+o_1(\frac)]-[\frac+o_2(\frac)]}=\lim_)}}-\frac)}}}}=2
limx→0
21+
x−sin2x
−2ln
(1+x
)=limx→
02[
2x+
o1(
2x)
]−[2
x+o
2(2
x)]
x=limx→
01+2
2xo
1(2
x)
−2x
o2(
2x)
2
=2
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