有一種只研究圖形各部分位置的相對次序，而不考慮他們尺寸大小的新幾何學，叫做拓撲學。有時人們也稱它是橡皮膜上的幾何學。因為橡皮膜上的圖形，隨著橡皮膜的拉動，其長度、曲直、面積等等都將發生變化，但也有一些圖形的性質保持不變。例如點變化後還是點，線變化後依舊是線；相交的圖形決不因橡皮的拉伸和彎曲而變得不相交！拓撲學正是研究諸如此類，使圖形在橡皮膜上保持不變的性質。在這種幾何中，扭曲和拉長（但不包括撕開和接合）稱為拓撲變換。圖形在拓撲變換下保持不變的性質，稱為圖形的拓撲性質。
三角形和圓使兩種截然不同的圖形，但他們都是簡單的封閉曲線。在拓撲變換下，三角形能變成圓，三角形的內部變成了圓的內部，三角形的外部變成了圓的外部。這就是說，簡單封閉曲線的內部和外部具有拓撲性質。
圖１顯出了畫在一塊矩形橡皮膜上的三角形，被拉成了圓的情形。
從圖２的三個圖形可以想象出他們各自表示什麼東西。在拓撲變換下，他們中的每乙個圖形都能變成另乙個圖形。
傳說古波斯穆罕默德的繼承人哈立發，為了挑女婿曾經給絡繹不絕的求婚者出過這樣乙個題目：請用線把圖３中寫有相同數字的小圓圈連線起來，但所連的線不許相交。
這個問題似乎很簡單，但實際上沒有乙個求婚者能夠如願以償。事實上，如圖4，我們很容易把①-①、②-②連起來，從而得到一條簡單的封閉曲線，這條曲線把整個平面分為內部(陰影部分)和外部這兩個區域。其中乙個③在內部區域，而另乙個③卻在外部區域。要想從閉曲線內部的③，畫一條線與外部的③相連，而與已畫的閉曲線不相交，這是不可能的！
用乙個正方體做遊戲：如圖5，假設正方體的八個頂點表示均勻分布在地球上的八個城市，而每個城市都有三條路線與毗鄰城市相連。某學者從a城出發，要到c′城去考察，途中順便到其他的六個城市旅遊。要求這六個城市都只經過一次而最後到達c′城。請畫出他的旅行路線。
要找出這條路線，最好是把它化為平面上的圖形來考慮。為此，我們不妨設想這正方體是由有彈性的橡皮薄膜製成，再用剪刀沿著稜剪掉它的乙個面，然後扯著這個缺口把它拉開鋪平，就成為乙個平面圖形。這個圖形叫做正方體的拓撲平面圖（如圖6）。圖中的粗線和箭頭方向就表示它的一種解答。
如果這個旅行者最後要到達的城市不是c′而是d′，那麼他的旅行路線又該是怎樣的呢？要畫出這條路線的任何嘗試總是不會成功。為什麼呢？
把這八個城市按圖7用兩種不同的顏色區分開，這樣，用一條稜連線的兩個頂點顏色都不同，那麼以a點為出發點的第1號城市，以後到達的各城市依次編為2，3，…，8，可以知道：編為奇數的城市都應該是白色的；編為偶數的城市都應該是黑色的，作為最後到達的第8號城市當然是黑色的。可見，從a城出發，以b′、d′、c為終點，中途又要不重複地經過其他六個城市的路線都是不存在的。
下面是一道涉及拓撲學知識的數學競賽題。
圖8是從乙個8×10格的矩形紙上剪去兩個1×1的小方格後得到的。能不能把它全部剪成1×2格大小的矩形小紙片呢？為什麼？
這是不可能的，由它上面剪下來的每乙個小矩形都由兩個相鄰的小方格組成，這兩個小方格上染有不同的顏色。假設它能全部剪成這樣的小矩形紙片，那麼它上面兩種顏色的格仔數目應當相等。但它的灰色小方格比白色小方格少2個。所以它能全部剪成1×2格小矩形紙片的假設是錯誤的。因此，不可能把它全部剪成這樣的小紙片
(選自《數學課外讀物》)
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