最短編輯距離演算法實現

一，演算法介紹

在cs124課程的第一周提到求解兩個字串相似度的演算法---minimum edit distance（最短編輯距離）演算法。該演算法在nlp（自然語言處理）中也會用到。

如何定義相似度呢？任給兩個字串x 和y，使用以下三種操作將字串x 變到字串y ：①插入(insert)操作；②刪除操作（delete）；③替換操作(substitute)

比如字串x="intention" ，字串y="execution"。從字串x 轉換成字串y 如下圖所示：

定義：插入操作的代價為1，刪除操作的代價為1，替換操作的代價為2（稱為： levenshtein distance）。那麼，"intention" 變成 "execution" 執行了三次替換，一次刪除，一次插入。因此，總代價為8

而這個代價又稱為編輯距離，用之來衡量兩個字串的相似程度。顯然，若兩個字串越相似，則從乙個字串變到另乙個字串所需要的「操作」步驟就越少。

二，動態規則求解最短編輯距離

為什麼能用動態規劃來求解呢？ⓐ該問題可以分解成若干個子問題；ⓑ子問題之間具有重疊性（可「查表」），具體可參考一些動態規劃的示例1，示例2.

假設字串x的長度為n，字串y的長度為m，用d[n][m] 表示字串x 轉換成字串y 的最短編輯距離

定義 d[i][j] 表示字串x的子串x[1...i] 轉換成字串y 的子串 y[1...j] 的最短編輯距離（這裡的下標從1開始，不從0開始），有如下動態規劃公式：

要想從長度為 i 的源字串x 轉換成長度為 j 的目標字串y，有三種方式：

①先將源字串x 的前 i-1 個字元 x[1...i-1] 轉換成目標字串y[1...j]，然後再刪除字串x 的第 i 個字元source[i]

②先將源字串x[1...j] 轉換成目標字串y[1...j-1] ，然後再插入字串y的第 j 個字元 target[j]

③先將源字串x[1...i-1] 轉換成目標字串y[1...j-1]，然後源字串中的第 i 個字元x[i] 替換為目標字串的第 j 個字元 y[j]

為什麼只有上述三種方式呢？

因為我們是將源問題的求解，分解成若干個子問題的求解，子問題的規模比原問題要小1。源問題 x[1...i] 轉換成 y[1...j] 。比如，子問題是：先將x[1...i-1] 轉換成 y[1...j] ，...

結合前面定義的操作代價（刪除和插入操作代價為1，替換操作為2），就是下面這個公式：

解釋一下為什麼 if source[i]=target[j]時，替換的代價為0呢？if source[i]=target[j] 表明字串x 的第 i 個字串和字串y的第 j 個字元是相同的

要想將 x[1...i] 轉換成 y[1...j] ，對於第三種轉換方式：先將源字串x[1...i-1] 轉換成目標字串y[1...j-1] ，既然：字串x 的第 i 個字串和字串y的第 j 個字元是相同的，那就相當於「自己替換自己」，或者說是不需要替換操作了嘛。這也是下面**實現邏輯：

if (source.charat(i-1) == target.charat(j-1)) 
1011
public
intsimilardegree(string source, string target) else38}
39}40return
dp[sourcelen][targetlen];41}
4243
private
int min(int insert, int delete, int
substitute) 
48 }

參考：stanford cs124課程

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