一，介紹
分治演算法主要包含兩個步驟：分、治。分，就是遞迴地將原問題分解成小問題；治則是：在解決了各個小問題之後(各個擊破之後)合併小問題的解，從而得到整個問題的解
二，分治遞迴表示式
分治演算法一般都可以寫出乙個遞迴表示式；比如經典的歸併排序的遞迴表示式：t(n)=2t(n/2)+o(n)
t(n)代表整個原問題，採用了分治解決方案後，它可以表示成：
①分解成了兩個規模只有原來一半(n/2)的子問題:t(n/2)
②當解決完這兩個子問題t(n/2)之後，再合併這兩個子問題需要的代價是 o(n)
遞迴表示式的解就是該演算法的時間複雜度。關於某些特定形式的遞迴表示式，求解時，是可以直接套公式的：
t(n)=at(n/b)+θ(n^k) 表示將原問題分解成 a 個 規模大小為 n/b 的子問題，合併這 a 個子問題的代價是 θ(n^k) （n^k 表示 n 的 k 次方）
t(n)的解有以下三種情況：
1) t(n)=o(n^logba) 當 a > bk 時
2) t(n)=o(nk logn) 當 a = bk 時
3) t(n)=o(nk) 當 a < bk 時
三，分治演算法的一些例項分析
①最近點問題，參考《資料結構與演算法分析》mark allen wiess著 第10章
問題描述：在乙個平面上分布著若干個點，點與點之間的距離公式為：[(x1-x2)2 + (y1-y2)2]1/2
找出，距離最小的那兩個點
假設平面上有n個點，這n個點之間共有 1+2+3+……+(n-1) = n(n-1)/2 個距離，採用窮舉，時間複雜度為o(n^2)；而採用分治則可以做到o(nlogn)
那如何應用分治呢？
首先將n個點按照 x軸座標進行排序，排序演算法的時間複雜度為o(nlogn)，故相對於窮舉而言，它不影響總是時間複雜度。因為o(nlogn) << o(n^2)（遠遠小於）
按x軸座標排序後，可以劃一條垂直於x軸的線，將所有的點劃分成兩半。那麼，點與點之間的距離就會出現三種情況：
a)兩個點完全處於垂線的左邊，那麼這兩點的距離不會越過垂線，這類距離記為 dl
b)兩個點完全處於垂線的右邊，那麼這兩點的距離不會越過垂線,這類距離記為 dr
c)兩個點乙個在垂線的左邊，乙個在垂線的右邊，因此這兩個的距離會橫跨垂線
這種劃分思想，在求解：最大子串行的和 時，也可以採用。
設 mind = min，即mind是 a) 和 b) 這兩種情況下的所有距離中最小的那個距離。
那麼，可以用數學證明：處於[-mind, mind]這個範圍內的點平均只有 o(sqrt(n))個。
而sqrt(n)個點，一共有 o(n)個距離對，因為n個點一共有n(n-1)/2，即o(n^2)個距離對
這樣，我們可以將處於 c) 中的點對距離 採用窮舉來查詢出最小的距離，複雜度為o(n)
而，處於a) 和 b) 中的點可以 繼續進行遞迴劃分。
從而，遞迴表示式為： t(n)=2t(n/2)+o(n) ，而這個表示式的解為：t(n)=o(nlogn)
也就是說，採用了分治，成功地將原問題從o(n^2) 降低為 o(nlogn)
②k選擇問題
問題描述：給出n個數，找出其中第k小的元素
如果直接用窮舉，一共需要比較k*n次，當k與n有關時，比如k是中位數(k=n/2)，時間複雜度為o(n^2).
而採用分治，則可把複雜度降低為o(n)
首先在n個數選出乙個樞軸元素，將比樞軸元素的元素放到 樞軸元素的右邊，將比樞軸元素小的元素放到樞軸元素的左邊。這樣，把n個數，分成了兩部分，一部分，記為s(1) 它們都比樞軸大，另一部分記為s(2)，它們都比樞軸小。這就是分治 的 分。
假設一種理想的情況：樞軸元素 基本位於中間值，即它 總是將原陣列劃分成兩個兩個大小基本相等的子陣列：s(1) 和 s(2)
要求解第k小的元素，有三種情況：
a)若 k < |s(1)|，說明：第k小的元素位於 s(1)這個子陣列中。其中，|s(1)| 表示 s(1) 陣列中元素的個數。
b) 若 k == |s(1)| + 1，說明：第k小的元素，剛好是樞軸元素
c) 否則，第k個的元素位於 s(2)子陣列中
如果是情況 a) 或者 情況 c) ，可以繼續遞迴分解子陣列。
分解問題之後：將n個元素，分成了兩個 n/2 個元素的子陣列，只需要在其中乙個子陣列中進行查詢即可，使用窮舉查詢，複雜度為o(n/2)。
遞迴表示式： t(n)=t(n/2)+o(n/2)，這個遞迴表示式的解為o(n)
這說明，採用分治，可以將k選擇問題的時間複雜度降低為o(n)
順便說一句，這與快速排序的劃分非常的相似，只不過快速排序需要處理兩個子陣列（對劃分的兩個子陣列分別進行快速排序）。而這裡只需要處理其中某乙個子陣列，因為若第k小元素處於s(1)子陣列中，那麼它一定不會在s(2)子陣列中了，因此我們就不需要再處理s(2)子陣列了。
原文：
分治演算法思想
1.分解 對這k個子問題分別求解。如果子問題的規模仍然不夠小，則再劃分為k個子問題，如此遞迴的進行下去，直到問題規模足夠小，很容易求出其解為止。2.合併 將求出的小規模的問題的解合併為乙個更大規模的問題的解，自底向上逐步求出原來問題的解。3.分治演算法的使用條件 分治法所能解決的問題一般具有以下幾個...
演算法思想 分治演算法
分而治之 大問題能夠拆成相似的小問題，記住這些小問題需要具有相似性。而後將小問題的每個解合成為大問題的解。所以說大問題如何拆，小問題如何合併才是這個演算法最主要的乙個思想。實際上很多演算法如貪心演算法，動態規劃等等都是要求把大問題拆成小問題。而分治演算法的重要一點就是要適用於能夠重新把小問題的解合併...
分治演算法介紹
分治演算法是一種很重要的演算法。字面上的解釋是 分而治之 就是把乙個複雜的問題分解成兩個或更多個相同或相似的問題，再把子問題分成更小的問題。直到最後的子問題可以直接求解阿，原問題的解即子問題的解的合併。這個技巧是很多高效演算法的基礎，如排序演算法 快速排序，歸併排序 博立葉變換 快速博立葉變換 分子...