N個節點的二叉樹有多少種形態

這是一道阿里的面試題。其實算不上新鮮，但是我之前沒關注過，如今碰到了，就順便**下這個問題吧：）

拿到這個題，首先想到的是直接寫出表示式肯定不行，所以有必要從遞推入手。由特殊到一般，歸納法麼~而且二叉樹離不開遞推這個尿性。。。

先考慮只有乙個節點的情形，設此時的形態有f(1)種，那麼很明顯f(1)=1

如果有兩個節點呢？我們很自然想到，應該在f(1)的基礎上考慮遞推關係。那麼，如果固定乙個節點後，有兩種情況，一是左子樹還剩乙個節點，此刻型別數量為f(1)，第二種情況是右子樹生乙個節點，此刻型別數量為f(1)，固有f(2) = f(1) + f(1)

如果有三個節點呢？我們需要考慮固定兩個節點的情況麼？當然不行，為什麼？

因為當節點數量大於等於2時，無論你如何固定，其形態必然有多種，而在這多種基礎之上你如何安排後續剩下的節點呢？所以必須挑出這個誤區。

回到二叉樹的定義，二叉樹本質上就是乙個遞迴的形式，左子樹，右子樹，根節點。所以根節點應該不變，需要遞迴處理的是左右子樹。

也就是說，還是考慮固定乙個節點，即根節點。好的，按照這個思路，還剩2個節點，那麼左右子樹的分布情況為2=0+2=1+1=2+0。

所以有3個節點時，遞迴形式為f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2). (注意這裡的乘法，因為左右子樹一起組成整棵樹，根據排列組合裡面的乘法原理即可得出)

那麼有n個節點呢？我們固定乙個節點，那麼左右子樹的分布情況為n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = ... = 1 + n-2 = 0 + n-1

ok。遞迴表示式出來了f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)

觀察一下這個表示式，嗯，和我們之前見過的遞迴表達有一點區別，遞推層級為n的時候，更多的是考慮前一步(n-1)，或者前兩步(n-1)和(n-2)。

但是這裡卻考慮到所有的情況，即1到n-1。

最後說明一下，這個表示式有乙個學名，叫做catalan數。上面我們沒有定義f(0)。如果把f(0)也考慮進去，顯然沒有節點也只有一種情況，即f(0)=1

標準表示式為f(n) = f(n-1)f(0) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)f(0)

前幾個數為1,1,2,5,14,42,132。

此外，還有乙個通項公式為1/(n+1) * c(n, 2n) = c(n, 2n) - c(n-1, 2n) , n = 0,1,2,...

關於這個問題的一些論述：

關於卡特蘭數：

N個節點的二叉樹有多少種形態

catalan數，嘻嘻嘻 拿到這個題，首先想到的是直接寫出表示式肯定不行，所以有必要從遞推入手。由特殊到一般，歸納法麼 而且二叉樹離不開遞推這個尿性。先考慮只有乙個節點的情形，設此時的形態有f 1 種，那麼很明顯f 1 1 如果有兩個節點呢？我們很自然想到，應該在f 1 的基礎上考慮遞推關係。那麼，...

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這是一道阿里的面試題。其實算不上新鮮，但是我之前沒關注過，如今碰到了，就順便 下這個問題吧 拿到這個題，首先想到的是直接寫出表示式肯定不行，所以有必要從遞推入手。由特殊到一般，歸納法麼 而且二叉樹離不開遞推這個尿性。先考慮只有乙個節點的情形，設此時的形態有f 1 種，那麼很明顯f 1 1 如果有兩個...

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先考慮只有乙個節點的情形，設此時的形態有f 1 種，那麼很明顯f 1 1 如果有兩個節點呢？我們很自然想到，應該在f 1 的基礎上考慮遞推關係。那麼，如果固定乙個節點後，有兩種情況，一是左子樹還剩乙個節點，此刻型別數量為f 1 第二種情況是右子樹生乙個節點，此刻型別數量為f 1 固有f 2 f 1 ...