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npc簡介
np-hard問題證明
npc 證明（一）
npc 證明（二）
本文介紹如何通過3sat歸約，進而證明支配集是npc問題。
→
\rightarrow
→ 3-satisfiability (3sat)
給定乙個有窮的布林變數集合x→=x=\lbrace x_1,x_2,\ldots,x_n \rbrace
x=，變數x
ix_i
xi取值為1或者0，另有一組子句c
=c=\lbrace c_1,c_2,\ldots,c_m \rbrace
c=，c =c
1∧c2
∧…∧c
m\mathbb=c_1\wedge c_2 \wedge \ldots \wedge c_m
c=c1∧
c2∧
…∧cm
，ci=x
j∨xk
∨x
lc_i = x_j \vee x_k \vee x_l
ci=xj
∨xk
∨xl
。求是否存在一組取值使得c
\mathbf
c為真，即任意c
ic_i
ci為真。
\rightarrow
→ dominating set
給定圖g我們知道將支配集歸約到3sat進而證明3sat是npc是很容易的。csci5320的習題裡，要進行相反方向的歸約，將3sat的問題轉化成支配集的問題進行求解，相對來說比較難。gg，正整數k
kk，是否存在dominating set的大小最多為kkk。
dominating set d
dd是點集v
vv的乙個子集，並且對於不在d
dd中的點v
vv，至少存在一條邊(u,
v)∈e
(u,v)\in e
(u,v)∈
e，u∈
du\in d
u∈d。
對於每個變數x
ix_i
xi，我們都構造兩個點，x
ix_i
xi和xi‾
\overline
xi
，以及一條邊(xi
,xi‾
)(x_i,\overline)
(xi,x
i)
對於c
ic_i
ci當中的三個變數xj∨
xk∨x
lx_j \vee x_k \vee x_l
xj∨xk
∨xl
，我們構造乙個點c
ic_i
ci，三條邊(xj
,ci)
(x_j,c_i)
(xj,c
i),(xk
,ci)
(x_k,c_i)
(xk,c
i)和(xl
,ci)
(x_l,c_i)
(xl,c
i)。如果布林表示式取反，那麼我們可以對應的連線(xj
‾,ci
)(\overline,c_i)
(xj,
ci)
。最關鍵的一步，我們如何確保x
ix_i
xi,xi‾
\overline
xi
恰好有且僅有乙個點落在支配集裡。我們增加乙個點y
iy_i
yi，並且新增兩條邊(xi
,yi)
(x_i,y_i)
(xi,y
i)與(xi
‾,yi
)(\overline,y_i)
(xi,
yi)
。 那麼我們可以知道c
\mathbb
c可滿足當且僅當上述構造的圖中有乙個大小m
mm的支配集。
當c
\mathbb
c可滿足時，顯而易見，對應取真的變數構成乙個支配集。
當上述構造的圖中有乙個大小為m
mm的支配集時，因為(xi
,xi‾
,yi)
(x_i,\overline,y_i)
(xi,x
i,
yi)
三個點當中最少有乙個點在支配集當中，所以支配集的大小最小為m
mm。那麼我們可以得到結論(xi
,xi‾
,yi)
(x_i,\overline,y_i)
(xi,x
i,
yi)
三個點恰好有且僅有乙個點在支配集當中。當y
iy_i
yi在支配集當中時，我們總可以由(xi
,xi‾
)(x_i,\overline)
(xi,x
i)
當中的乙個點來替換。那麼由此便可得到乙個令c
\mathbb
c可滿足的取值。
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