小結：
暴力
tarjan演算法
是乙個找強連通分量的演算法。dfs+並查集，每次將兩個節點對的最近公共祖先的查詢儲存起來，然後dfs更新一次。
複雜度：o(n + q), q為查詢個數
rmq（沒看）
但前面暴力求a[i,j]最小值的位子可以考慮一下： 1. 普通的o(n^3) 2. 動態規劃將為o(n^2)
線段樹
用m[i]儲存節點i區間的最小值的位置，其中左節點為2*i, 右節點為2*i+1
複雜度, 構建o(n),查詢o(logn)
求有根樹的任意兩個節點的最近公共祖先
直觀的做法，可能是針對是否為二叉查詢樹分情況討論，這也是一般人最先想到的思路。除此之外，還有所謂的tarjan演算法、倍增演算法、以及轉換為rmq問題（求某段區間的極值）
1.1 是二叉查詢樹
演算法：從root開始：
**：//modified by july 2014
public int query(node t, node u, node v)
while (true) else if (t.value > right) else
}
}
1.2 不是二叉查詢樹
我們可以從任何乙個節點出發，得到乙個到達根節點的單向鍊錶。因此這個問題轉換成兩個單向鍊錶的第乙個公共節點。
此外，如果給出根節點，lca問題可以用遞迴很快解決。關於樹的問題一般都可以轉換成遞迴。
參考**如下：
node* getelca(node* root, node* node1, node* node2)
2.1 tarjan演算法
tarjan演算法是乙個在圖中尋找強連通分量的演算法。演算法的基本思想為：任選一節點開始進行深度優先搜尋dfs（若深度優先搜尋結束後仍有未訪問的節點，則再從中任選一點再次進行）。搜尋過程中已訪問的節點不再訪問。搜尋樹的若干子樹構成了圖的強連通分量。
對於lca問題：對於新搜尋到的乙個節點u，先建立u構成的集合，在對u的每棵子樹進行搜尋，每搜尋完一棵子樹，這時候子樹中所有的節點的最近公共祖先就是u了。
舉例，如下圖（不同顏色的節點相當於不同的集合）：
假設遍歷完10的孩子,要處理關於10的請求了，取根節點到當前正在遍歷的節點的路徑為關鍵路徑,即1-3-8-10，集合的祖先便是關鍵路徑上距離集合最近的點。
比如：1，2，5，6為乙個集合,祖先為1，集合中點和10的lca為1
3，7為乙個集合，祖先為3，集合中點和10的lca為3
8，9，11為乙個集合，祖先為8，集合中點和10的lca為8
10，12為乙個集合，祖先為10，集合中點和10的lca為10
得出的結論便是：lca(u,v)便是根至u的路徑上到節點v最近的點。
2.2 tarjan演算法流程
procedure dfs
(u):
begin
設定u號節點的祖先為u
若u的左子樹不為空,
dfs(u -> 左子樹)
; 若u的右子樹不為空，dfs
(u -> 右子樹)
; 訪問每一條與u相關的詢問u,v
若v已經被訪問過，則輸出v的當前祖先t
(t 即u, v的lca)
標記u為已經訪問，將所有u的孩子包括u本身的祖先改為u的父親
參考轉換為rmq問題，用sparse table（簡稱st）演算法解決。
rmq問題
rmq問題：
全稱為range minimum query，顧名思義，則是區間最值查詢，它被用來在陣列中查詢兩個指定索引中最小值的位置。即rmq相當於給定陣列a[0, n-1]，找出給定的兩個索引如 i、j 間的最小值的位置。
假設我們定義：
假設乙個演算法預處理時間為 f(n)，查詢時間為g(n)，那麼這個演算法複雜度的標記為。我們將用rmqa(i, j) 來表示陣列a 中索引i 和 j 之間最小值的位置。 u和v的離樹t根結點最遠的公共祖先用lca t(u, v)表示。
舉例：如下圖所示，rmqa(2,7 )則表示求陣列a中從a[2]~a[7]這段區間中的最小值：
很顯然，從上圖中，我們可以看出最小值是a[3] = 1，所以也就不難得出最小值的索引值rmqa(2,7) = 3。
rmq問題解決
1. trivial algorithm for rmq
我們對對每一對索引(i, j)，將陣列中索引i 和 j 之間最小值的位置 rmqa(i, j) 儲存在m[0, n-1][0, n-1]表中。
先引出3種計算方法：
普通的計算將得到乙個的演算法。通過乙個簡單的動態規劃，我們可以將複雜度降為
//modified by july 2014
void process1(int m[maxn][maxn], int a[maxn], int n)
乙個比較有趣的點子是把向量分割成sqrt(n)大小的段。我們將在m[0,sqrt(n)-1]為每乙個段儲存最小值的位置。如此，m可以很容易的在o(n)時間內預處理。
3. 乙個更好的方法預處理rmq 是對2^k 的長度的子陣列進行動態規劃。我們將使用陣列m[0, n-1][0, logn]進行儲存，其中m[ i ][ j ] 是以i 開始，長度為 2^j 的子陣列的最小值的索引。這就引出了咱們接下來要介紹的sparse table (st) algorithm。
2. sparse table(st) algorithm
…(待看)
線段樹是乙個類似堆的資料結構，可以在基於區間陣列上用對數時間進行更新和查詢操作。我們用下面遞迴方式來定義線段樹的[i, j]區間：
呼叫函式時使用node=1, b = 0, e = n -1
void initialize(int node, int b, int e, int m[maxind], int a[maxn], int n)
}
int
query
(int node,
int b,
int e,
int m[maxind]
,int a[maxn]
,int i,
int j)
線段樹非常強大，不僅僅是因為它能夠用在rmq上，還因為它是乙個非常靈活的資料結構，它能夠解決動態版本的rmq問題和大量的區間搜尋問題。
除此之外，還有倍增法、重鏈剖分演算法和後序遍歷也可以解決該問題。其中，倍增思路相當於層序遍歷，逐層或幾層跳躍查，查詢時間複雜度為o(log n)，空間複雜度為nlogn，對於每個節點先儲存向上1層2層4層的節點，每個點有depth資訊。
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