ux005
在上一次的討論ux004中，留下了乙個「拆彈問題」。
解決這個問題的主要方法是「解方程」。
方程這個詞其實常常聽到，但是具體是啥，估計很多人早就忘了。
定義：有代數的等式叫方程式。
所以，方程和函式本質上就是一種東西，他們就可以用解析式來表示，也可以用影象來表示。
如果函式的定義是「狹義」的,也就是「單值函式」：確定的引數,只能對應唯一的輸出值。
那麼他們算是有一些區別。
比如：y=x^2和x=y^2,如果函式的定義是狹義的,那麼第二個方程就不能算是函式。
乙個是之前提到的「單值函式」問題。在這種狹義的定義下，是不完全一樣的。
另外，在說「方程」時,往往想找到確定的「解」，從影象上來說，也就是找到「點」。
談論「函式」的時候,往往想描述「對應關係」,這是一種變化過程，也可以說是方程的「解集」。
從影象上來看就是密密麻麻的一堆點，點連一在起就會形成圖形，這就是函式的影象。
首先提一下：多個方程可以合併在一起形成「方程組」，這個過程叫做「聯立方程組」。
繼續說回函式與方程的關係。
y=x^2-2x-2，它既是乙個函式，又是乙個方程。
由於這種方程有無數個解，習慣上我們並不叫它「方程」，如果非要叫的話，這種東西叫做「不定方程」。
如果乙個方程組中方程的數量,少於其未知數的數量,那麼這種方程就被我們稱為「不定方程」。
如果未知數的數量很多，那麼最後的解也非常多，我們就偏向於觀察它的對應關係；但是當有多個影象時(聯立方程組)，他們就可能會存在「交點」，這個時候我們就可以觀察到具體的某個點。
這就是解方程的基本原理。
上一次我們提到的那個問題其實就是求方程組的「解」(也叫做「根」)，其實座標系的x軸也是乙個函式，y=0，它是乙個「零次函式」或者說「常值函式」。
解方程是一項非常繁瑣而枯燥的工作。
自從有了計算機之後，少有人再去幹這種苦活累活。
這種無聊的事情最適合計算機來做了，所以說「計算機大大的延長了數學家的壽命」。
在前言中說過，這一系列文章中使用的數學軟體主要是geogebra(負責幾何繪圖)和mathematica(負責解方程等)。
mathematica 是世界上最著名的數學軟體之一，他最重要的特點就是上手簡單，語法和數學語言很接近。
mathematica 可以很快的解決我們剛才提出的那個「拆彈」問題。
它幾乎在瞬間就給出了正確答案。
mathematica也非常智慧型,輸入時可以自動提示相關的引數。
之所以選擇 mathematica ,還有乙個重要原因，就是它也的中文資源非常多,軟體都是漢化版的，並且自帶中文幫助文件。
正因為它如此易於使用，所以在這裡我們也不會介紹它的使用方法,如果需要請自行翻閱相關文件和書籍,例如《wolfram 語言基礎入門》和《 mathematica 實用程式設計指南》。
既然第二次函式都可以變成y=ax^2+bx+c(a≠0)的形式。有沒有可能求出乙個「通解」，也就是用待定係數(常數)a/b/c表示的一種通用解?
讓 mathematica 告訴我們答案。
但並不是所有的方程都會有這種「通解」。
一元五次方程就是沒有的。
與「通解」相對的乙個概念叫做「特解」，也就是說，方程中的所有「係數」都已確定。
天吶！這一串東西實在是太恐怖了，該怎麼記住呢？
通解是不需要記憶的。
如果用的多了，自然就會記住一些簡單通解，二次函式通解就是非常簡單的。
正如 "每個人" 都記著二次方程的解；"沒有人" 記得三次方程的解。[2]
函式影象的交點就是方程的根，不過僅僅是「實數根」。
拿「二次函式實數通解」來說吧，這個式子可能是沒有意義的。
因為他有個根號，根號內的數值如果是負數，那麼就不在「實數域」內，在高中所有的定義域預設為「實數域」。當時我們只需要知道「無實根」就可以了，先不要繼續往下**。
出現這種情況，就代表著影象沒有交點；如果計算出來是乙個值那麼就代表有乙個交點，兩個值就代表有兩個交點；以此類推。
因為,有零點就表明函式影象穿過了x軸,也就是改變符號。
所以說只要函式是連續的,每經過一次零點,那麼符號就會改變一次;如果符號改變了，那一定是已經經過了零點。
「通解」出來了之後，我們可以根據對稱的性質，求出對稱軸的解析式。
進而通過這兩個式子，歸納出廣義二次函式的一些特性。
有代數的等式叫方程式
廣義上的函式和方程幾乎是一回事。
兩個函式影象的「交點」就是他們函式解析式方程組的「實數解」。
解方程是一項繁瑣的工作，目前主要由計算機來完成。
不是每乙個方程都有「通解」。
[1] 「通解」的準確定義，我好像並沒有查到。好像只是定義在線性微分方程領域中。如果確實是如此，那就是我自己的定義，以後衝突再改吧，這個東西叫著爽。
[2] 摘自
我是心如止水，歡迎你和我換個姿勢學數學。
換個姿勢學數學 函式 奇偶性 的由來
uxe001 1 之前談論到 奇偶性 的時候 ux002 我認為這個名字起得並不好，因為實在是很難從字面上聯想到數學性質本身。所以我建議叫做 對稱性 y軸對稱 和 原點對稱。但是在偶然的一次思路梳理中，我突然明白了 奇偶性 背後的意思。幾天前我查資料的時候，還沒有看到網上有這種觀點，鑑於這種觀點還不...
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愛心的數學函式方程 中學數學 函式與方程思想
函式與方程思想的含義 1 函式的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關係，是對函式概念的本質認識，建立函式關係或建構函式，運用函式的圖象和性質去分析問題 轉化問題，從而使問題獲得解決的思想方法。2 方程的思想，就是分析數學問題中變數間的等量關係，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方...