在進行演算法分析時，語句總的執行次數t(n)是關於問題規模n的函式，進而分析t(n)隨n的變化情況並確定t(n)的數量級。演算法的時間複雜度，也就是演算法的時間量度。記作：t(n)=o(f(n))。它表示隨問題n的增大，演算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱作演算法的漸進時間複雜度，簡稱為時間複雜度。其中，f(n)是問題規模n的某個函式。
這樣用大寫o()來體現演算法時間複雜度的記法，我們稱之為大0記法。
1、用常數1取代執行時間中的所有加法常數。
2、在修改後的執行次數函式中，只保留最高端項。
3、如果最高端項存在且不是1，則去除與這個專案相乘的常數。得到的結果就是大o階。
首先順序結構的時間複雜度。下面這個演算法，是利用高斯定理計算1，2，……n個數的和。
這個演算法的執行次數函式是f (n) =3。 根據我們推導大0階的方法，第一步就是把常數項3 改為1。在保留最高端項時發現，它根本沒有最高端項，所以這個演算法的時間複雜度為0(1)。int sum =0, n =
100;
/*執行一次*/
sum = (
1 + n) * n /
2;
/*執行一次*/
printf(
"%d",sum);
/*執行一次*/
另外，我們試想一下，如果這個演算法當中的語句 sum = (1+n)*n/2;
有10 句，則與示例給出的**就是3次和12次的差異。這種與問題的大小無關（n的多少），執行時間恆定的演算法，我們稱之為具有o(1)的時間複雜度，又叫常數階。對於分支結構而言，無論是真，還是假，執行的次數都是恆定的，不會隨著n 的變大而發生變化，所以單純的分支結構(不包含在迴圈結構中)，其時間複雜度也是0(1)。
線性階的迴圈結構會複雜很多。要確定某個演算法的階次，我們常常需要確定某個特定語句或某個語句集執行的次數。因此，我們要分析演算法的複雜度，關鍵就是要分析迴圈結構的運**況。
下面這段**，它的迴圈的時間複雜度為o(n)， 因為迴圈體中的**須要執行n次。
如下**：int i;for(i =
0; i < n; i++)
由於每次count乘以2之後，就距離n更近了一分。 也就是說，有多少個2相乘後大於n，則會退出迴圈。 由2^x=n 得到x=logn。 所以這個迴圈的時間複雜度為o(logn)。int count =1;
while (count < n)
下面例子是乙個迴圈巢狀，它的內迴圈剛才我們已經分析過，時間複雜度為o(n)。
而對於外層的迴圈，不過是內部這個時間複雜度為o(n)的語句，再迴圈n次。 所以這段**的時間複雜度為o(n^2)。int i, j;for(i =
0; i < n; i++)
}
如果外迴圈的迴圈次數改為了m，時間複雜度就變為o(mxn)。
所以我們可以總結得出，迴圈的時間複雜度等於迴圈體的複雜度乘以該迴圈執行的次數。
那麼下面這個迴圈巢狀，它的時間複雜度是多少呢?
由於當i=0時，內迴圈執行了n次，當i = 1時，執行了n-1次，……當i=n-1時，執行了1次。所以總的執行次數為:int i, j;for(i =
0; i < n; i++)
}
用我們推導大o階的方法，第一條，沒有加法常數不予考慮；第二條，只保留最高端項，因此保留時(n^2)/2; 第三條，去除這個項相乘的常數，也就是去除1/2，最終這段**的時間複雜度為o(n2)。
下面例子是乙個三重迴圈巢狀。
這裡迴圈了(1^2+2^2+3^2+……+n^2) = n(n+1)(2n+1)/6次，按照上述大o階推導方法，時間複雜度為o(n^3)。int i, j;for(i =
1; i < n; i++)
for(j =
1; j < n; j++)
for(j =
1; j < n; j++)
常見的時問複雜度如表所示。
常用的時間複雜度所耗費的時間從小到大依次是：
我們前面已經談到了。o(1)常數階、o(logn)對數階、o(n)線性階、 o(n^2)平方階等，像o(n^3)，過大的n都會使得結果變得不現實。同樣指數階o(2^n)和階乘階o(n!)等除非是很小的n值，否則哪怕n 只是100，都是噩夢般的執行時間。所以這種不切實際的演算法時間複雜度，一般我們都不去討論。
我們查詢乙個有n 個隨機數字陣列中的某個數字，最好的情況是第乙個數字就是，那麼演算法的時間複雜度為o(1)，但也有可能這個數字就在最後乙個位置上待著，那麼演算法的時間複雜度就是o(n)，這是最壞的一種情況了。
最壞情況執行時間是一種保證，那就是執行時間將不會再壞了。 在應用中，這是一種最重要的需求， 通常， 除非特別指定， 我們提到的執行時間都是最壞情況的執行時間。
而平均執行時間也就是從概率的角度看， 這個數字在每乙個位置的可能性是相同的，所以平均的查詢時間為n/2次後發現這個目標元素。平均執行時間是所有情況中最有意義的，因為它是期望的執行時間。也就是說，我們執行一段程式**時，是希望看到平均執行時間的。可現實中，平均執行時間很難通過分析得到，一般都是通過執行一定數量的實驗資料後估算出來的。一般在沒有特殊說明的情況下，都是指最壞時間複雜度。
我們在寫**時，完全可以用空間來換取時間，比如說，要判斷某某年是不是閏年，你可能會花一點心思寫了乙個演算法，而且由於是乙個演算法，也就意味著，每次給乙個年份，都是要通過計算得到是否是閏年的結果。 還有另乙個辦法就是，事先建立乙個有2050個元素的陣列(年數略比現實多一點)，然後把所有的年份按下標的數字對應，如果是閏年，此陣列項的值就是1，如果不是值為0。這樣，所謂的判斷某一年是否是閏年，就變成了查詢這個陣列的某一項的值是多少的問題。此時，我們的運算是最小化了，但是硬碟上或者記憶體中需要儲存這2050個0和1。這是通過一筆空間上的開銷來換取計算時間的小技巧。到底哪乙個好，其實要看你用在什麼地方。
演算法的空間複雜度通過計算演算法所需的儲存空間實現，演算法空間複雜度的計算公式記作:s(n)= o(f(n))，其中，n為問題的規模，f(n)為語句關於n所佔儲存空間的函式。
一般情況下，乙個程式在機器上執行時，除了需要儲存程式本身的指令、常數、變數和輸入資料外，還需要儲存對資料操作的儲存單元，若輸入資料所佔空間只取決於問題本身，和演算法無關，這樣只需要分析該演算法在實現時所需的輔助單元即可。若演算法執行時所需的輔助空間相對於輸入資料量而言是個常數，則稱此演算法為原地工作，空間複雜度為0(1)。
通常， 我們都使用"時間複雜度"來指執行時間的需求，使用"空間複雜度"指空間需求。當不用限定詞地使用"複雜度'時，通常都是指時間複雜度。
t(n,m) = t1(n) + t2(m) = o(max)
t(n,m) = t1(n) * t2(m) = o(max)
複雜度與時間效率的關係：
c(常數) < logn < n < n*logn < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!
l------------------------------l--------------------------l--------------l
較好 一般 較差
演算法複雜度 時間複雜度和空間複雜度
1 時間複雜度 1 時間頻度 乙個演算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機執行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個演算法都上機測試，只需知道哪個演算法花費的時間多，哪個演算法花費的時間少就可以了。並且乙個演算法花費的時間與演算法中語句的執行次數成正比例，哪個演算法中語句執行次數...
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演算法的時間複雜度是指執行演算法所需要的計算工作量。n稱為問題的規模，當n不斷變化時，時間頻度t n 也會不斷變化。但有時我們想知道它變化時呈現什麼規律。為此，我們引入時間複雜度概念。一般情況下，演算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函式，用t n 表示，若有某個輔助函式f n 存在乙個正...