這是一類問題，首先由直線劃分區域到折線劃分區域，再延伸到封閉圖形劃分區域，最後在推廣為平面劃分空間的問題。
一、n條直線最多分平面問題
題目大致如:n條直線，最多可以把平面分為多少個區域。
析:可能你以前就見過這題目，這充其量是一道初中的思考題。當有n-1條直線時，平面最多被分成了f（n-1）個區域。則第n條直線要是切成的區域數最多，就必須與每條直線相交且不能有同一交點。 這樣就會得到n-1個交點。這些交點將第n條直線分為2條射線和n-2條線斷。而每條射線和線斷將以有的區域一分為二。這樣就多出了2+（n-2）個區域。
故：f(n)=f(n-1)+n
=f(n-2)+(n-1)+n
……=f(1)+1+2+……+n
=n(n+1)/2+1
根據直線分平面可知，由交點決定了射線和線段的條數，進而決定了新增的區域數。當n-1條折線時，區域數為f（n-1）。為了使增加的區域最多，則折線的兩邊的線段要和n-1條折線的邊，即2*（n-1）條線段相交。那麼新增的線段數為4*（n-1），射線數為2。但要注意的是，折線本身相鄰的兩線段只能增加乙個區域。
故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1
=f(n-1)+4(n-1)+1
=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2
……=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)
=2n^2-n+1
解析：當n-1個三角形時，區域面積數為 f(n-1) 。
要區域數最多，那麼第n個三角形就必須與前n-1個三角形相交。
則第n個三角形的一條邊就被分割成 2*（n-1）-1條線段與兩個半條的線段 ，
即相當於2*（n-1）條線段。則第 n 個三角形被分割成 3*2*（n-1）條線段。
則增加了 6*（n-1）個面。
故：f(n)=6*(n-1)+f(n-1)
f(n-1)=6*(n-2)+f(n-2)
........
f(2)=6*1+f(1)
因為，f(1)=2
所以，f(n)=3*n*(n-1)+2
題目大致如設有n條封閉曲線畫在平面上，而任何兩條封閉曲線恰好相交於兩點，且任何三條封閉曲線不相交於同一點，問這些封閉曲線把平面分割成的區域個數。
析：當n-1個圓時，區域數為f(n-1).那麼第n個圓就必須與前n-1個圓相交，則第n個圓被分為2（n-1）段線段，增加了2（n-1）個區域。
故： f(n)=f(n-1)+2(n-1)
=f(1)+2+4+……+2(n-1)
=n^2-n+2
由二維的分割問題可知，平面分割與線之間的交點有關，即交點決定射線和線段的條數，從而決定新增的區域數。試想在三維中則是否與平面的交線有關呢？當有n-1個平面時，分割的空間數為f（n-1）。要有最多的空間數，則第n個平面需與前n-1個平面相交，且不能有共同的交線。即最多有n-1 條交線。而這n-1條交線把第n個平面最多分割成g（n-1）個區域。（g（n）為（1）中的直線分平面的個數 ）此平面將原有的空間一分為二，則最多增加g（n-1）個空間。
故：f=f(n-1)+g(n-1) ps:g(n)=n(n+1)/2+1
=f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)
……=f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)
=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）
=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1
=(n^3+5n)/6+1
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