motivation
在計算兩個特徵之間的相似程度的時候經常會用到余弦相似度公式，這個公式以前在高中學過，不高好像已經基本還給老師了，今天再這裡補充一下。在nlp中經常需要對特徵表徵之後的高維向量之間計算相似度，有向量a
\mathrm a
a和向量b
\mathrm b
b，a=(x
1,x2
,...
,xn)
\mathrm a=(x_1,x_2,...,x_n)
a=(x1
,x2
,...
,xn
),b=(x
1′,x
2′,.
..,x
n′)\mathrm b=(x'_1,x'_2,...,x'_n)
b=(x1′
,x2
′,.
..,x
n′)
,則向量a
\mathrm a
a和b\mathrm b
b之間的余弦相似度為
c os
b>=a
⋅b∣a
∣∣b∣
=x1x
1′+x
2x2′
+,..
.,+x
nxn′
x1²+
x2²+
,...
,+xn
²x1′
²+x2
′²+,
...,
+xn′
²=ut
v∣∣u
∣∣2∣
∣v∣∣
2cos=\frac=\frac\sqrt}=\fraccos
b>=∣
a∣∣b
∣a⋅b
=x1
²+x
2²+
,...
,+xn
²x
1′²
+x2′
²+,
...,
+xn′
²x
1x1
′+x
2x2
′+,
...,
+xn
xn′
=∣∣
u∣∣2
∣∣v
∣∣2
utv
2.derivation proof
首先需要該公式來之於兩向量的數量積公式a⋅b
=∣a∣
∣b∣c
osb>
\mathrm a·\mathrm b=|\mathrm a||\mathrm b|cos
a⋅b=∣a
∣∣b∣cos
b>
該公式的推導如下：
在中有c=a
−b\mathrm c = \mathrm a - \mathrm b
c=a−
b,(注：為了表示的方便我們在二維的平面上表示向量，實際上特徵的維度一般可以達到幾百甚至幾千維)由餘弦定理可以得到如下公式
c ²=
a²+b
²−2∣
a∣∣b
∣cos
b>
①c²=\mathrm a²+\mathrm b²-2|\mathrm a||\mathrm b|cos①
c²=a²+
b²−2
∣a∣∣
b∣co
sb>①把c=a
−b\mathrm c = \mathrm a - \mathrm b
c=a−
b帶入到公式①中化簡之後便可以得到數量積公式。
a ⋅b
=∣a∣
∣b∣c
osb>
\mathrm a·\mathrm b=|\mathrm a||\mathrm b|cos
a⋅b=∣a
∣∣b∣cos
b>
補充：關於餘弦定理的幾何證明方法如下：
如圖所示，在△abc中，bc=a，ac=b，ab=c，在rt△acd中，
b²=ad²+dc²=（c*sinb）²+（a-c*cosb）²
=c²sin²b+a²-2ac*cosb+c²cos²b
=c²（sin²b+cos²b）+a²-2ac*cosb
=c²+a²-2ac*cosb
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