在機器學習演算法中，有各種方式衡量使用者或者物品的距離或者相似度，如曼哈頓距離、歐幾里得距離、pearson相關係數、jaccard係數等（可參考我們這裡主要詳細介紹一下余弦相似度。余弦相似度被廣泛用於協同過濾演算法中，尤其是item-base的協同過濾。
余弦相似度衡量的是2個向量間的夾角大小，通過夾角的余弦值表示結果，因此2個向量的余弦相似度為：
cosθ=
a⋅b|
|a||
∗||b
||(1)
分子為向量a與向量b的點乘，分母為二者各自的l2相乘，即將所有維度值的平方相加後開方。
余弦相似度的取值為[-1,1]，值越大表示越相似。
我們以二維向量為例，計算向量(x
1,y1
)的余弦相似度。
先回顧一下初中的知識，看下圖：
我們可以得到公式：
c2=a
2+b2
−2ab
cosθ
(2)
其中： a
2b2c
2=x2
1+y2
1=x2
2+y2
2=(x
1−x2
)2+(
y1−y
2)2(3)
\begin
a^2&=x_1^2+y_1^2 \\
b^2&=x_2^2+y_2^2 \\
c^2&=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\tag
\end
\begina^2&=x_1^2+y_1^2 \\b^2&=x_2^2+y_2^2 \\c^2&=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\tag\end
於是，我們可以得到：
cosθ=
a2+b
2−c2
2ab=
2(x1
x2+y
1y2)
2x21
+y21
‾‾‾‾‾‾‾√x2
2+y2
2‾‾‾‾‾‾‾√=a
⋅b||
a||∗
||b|
|(4)
\begin
\cos\theta
&=\frac\\
&=\frac\sqrt}\\
&=\frac \tag
\end
\begin\cos\theta&=\frac\\&=\frac\sqrt}\\&=\frac \tag\end
其中a與b表達向量 (
x1,y
1)。
分子為a與b的點乘，分母為二者各自的l2相乘，即將所有維度值的平方相加後開方。
（1）夾角為0度
此時向量a與向量b應該是最相似的，余弦相似度應該為1。按照公式(4)，我們計算很容易計算出來
cosθ=1
。 （2）夾角為90度
此時余弦相似度為0。
（3）夾角為180度
此時余弦相似度為-1，2個向量的方向完全相反。
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