約瑟夫問題（優化優化再優化）

約瑟夫環是乙個數學的應用問題：已知n個人（以編號1，2，3...n分別表示）圍坐在一張圓桌周圍。

從編號為k的人開始報數，數到m的那個人出列；他的下乙個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列；

依此規律重複下去，直到圓桌周圍的人全部出列。

1、模擬方法

2、數學方法

模擬方法就是所謂的乙個個模擬，乙個乙個出列。這個方法比較多，可以直接用陣列模擬，也可以直接建乙個迴圈鍊錶模擬，

總之這個很好實現，但是複雜度卻是o(nm)，如果n和m都是10000,要求1s計算出結果，估計就不行了。

這個演算法實現，網上一大堆：隨便給出兩個：

struct listnode  
};  
//自定義鍊錶實現  
int josephusproblem_solution1(int n, int m)  
pcurrentnode->next = phead;  
//迴圈遍歷  
plastnode = pcurrentnode;  
pcurrentnode = phead;  
while(pcurrentnode->next != pcurrentnode)  
//刪除報到m - 1的數  
plastnode->next = pcurrentnode->next;  
delete pcurrentnode;  
pcurrentnode = plastnode->next;  
}  //釋放空間  
int result = pcurrentnode->num;  
delete pcurrentnode;  
return result;  
}

//使用標準庫  
int josephusproblem_solution2(int n, int m)  
//臨時儲存刪除的結點  
list::iterator iterdel = itercurrent;  
if(++itercurrent == listint.end())  
itercurrent = listint.begin();  
//刪除結點  
listint.erase(iterdel);  
}  return *itercurrent;  
}

由於上面o(nm)的方法很容易超時，所以這裡的數學方法可以做到o(n).

問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

我們知道第乙個人(編號一定是m%n-1) 出列之後，剩下的n-1個人組成了乙個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）: k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2，並且從k開始報0。

現在我們把他們的編號做一下轉換：

1k --> 0

2k+1 --> 1

3k+2 --> 2

4...

5...

6k-2 --> n-2

7k-1 --> n-1

變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n。

如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是乙個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：

令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]。

遞推公式：

1f[1]=0;

2f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1。

int f(int n, int m) 
return f2+ 1; 
}

今天碰到乙個題目，n <= 10^18，m<=1000,時間1s，這想想o(n)肯定超時，沒得說。

但是我麼可以看看上面的規律，

f[i] = (f[i-1]+m)%i,通過這個式子，我們發現，到一定程度，m會遠遠小於i的，所以每次不是僅僅加乙個m，我可以一下子加x*m,從而跳過x個i，事實證明，這樣做的效率非常高。

當然只有當m遠遠小於n的時候，效率會比較高。如果m>n那麼效率也就接近o(n)了。

對於當前的i，如果f1+m

什麼時候結束呢？

如果i+x>=n，那麼就證明這次已經超過了n，這裡只需要令f2=f1+(n-i)*m,並且i=n跳出迴圈即可。

具體**及注釋如下：

#include using namespace std;

//資料範圍n<=10^18,m<=1000,時間幾十ms

__int64 n,m;

int main()

} cout << f2+1 <

約瑟夫問題（優化優化再優化）

約瑟夫優化

約瑟夫環的數學優化

優化問題，凸優化，凸二次優化問題

約瑟夫問題（優化優化再優化）

約瑟夫優化

約瑟夫環的數學優化

優化問題，凸優化，凸二次優化問題

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