撞球遊戲的核心演算法和AI 1

前言:基礎物理知識:

•摩擦阻力

其滿足牛頓第二定律:

f = m * a

速度與加速度關係公式:

vt = v0 + a * t

地面摩擦力與運動物體的方向相反, 阻礙物體的向前運動.

•動量守恆

假設物體a質量為m1, 速度為v1, 物體b質量為m2, 速度為v2, 碰撞後速度分別為v1', v2'.

則滿足動量守恆定律:

•碰撞型別和能量守恆定律

1).完全彈性碰撞

動能沒有損失, 則滿足如下公式:

1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * m2 * v2^2 = 1/2 * m1 * v1'^2 + 1/2 * m2 * v2'^2

注: 前後物體的動能保持均衡, 沒有其他能量的轉化. 

結合之前的動量守恆定律, 我們可以進一步得到:

v1' = [(m1-m2) * v1 + 2 * m2 * v2] / (m1 + m2)

v2' = [(m2-m1) * v2 + 2 * m1 * v1] / (m1 + m2)

2).完全非彈性碰撞

則存在其他能量的轉化, 動能不守恆. 

且此時兩物體粘連, 速度一致, 即v1'=v2', 此時動能損失最大.

3).彈性碰撞

介於完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞兩者之間. 動能有損失的.

物理模型:

撞球遊戲中, 最核心的就是其物理模型的抽象及其碰撞演算法的執行過程了.

鑑於是2d版的撞球遊戲, 因此我們對物理模型做下簡化, 球運動的方向必然穿越球的中心.

把每個撞球抽象為圓(x, y, radius), 而撞球桌邊框抽象為線段((x1, y1), (x2, y2)).

•碰撞檢測

1).檢測球與球碰撞

我們假定球a(x1, y1, r), 球b(x2, y2, r). 則滿足條件:

(x1 - x2) ^ 2 + (y1 - y2) ^ 2 <= (2*r) ^ 2

則發生碰撞, 否則沒有發生碰撞

2).檢測球與球檯邊框碰撞

相對比較簡單. 求球心到邊框的垂直距離即可, 若小於等於則發生碰撞, 若大於則沒有.

•碰撞反應

1).球與球的碰撞反應

動量是向量, 其在正交的兩個方向上, 互相守恆. 我們選取兩球圓心的直線為x軸,垂直於圓心直線的為y軸. 如上圖所述.

x軸上滿足動量守恆:

m1 * vx + m2 * ux = m1 * vx' + m2 * ux';

並假定兩球碰撞是完全彈性碰撞, 兩球質量相等m1=m2, 依據基礎物理知識篇的結論.

vx' = [(m1-m2) * vx + 2 * m2 * ux] / (m1 + m2) = ux;

ux' = [(m2-m1) * ux + 2 * m1 * vx] / (m1 + m2) = vx;

在x軸方向, 兩球交換速度, 而在y軸方向, 兩球分速度不變.

vy' = vy;

uy' = uy;

最終碰撞後的速度公式為:

v' = vx' + vy' = ux + vy;

u' = ux' + uy' = vx + uy;

2).球與邊框的碰撞反應

把撞球邊框視為質量無窮大, 則簡單把運動的球, 其在垂直邊框的分方向反向即可.

假定碰撞碰撞平面為x軸

vx' = vx;

vy' = -vy;

最終速度公式為:

v' = vx' + vy' = vx - vy;

碰撞執行演算法:

遊戲的主迴圈往往遵循如下**結構:

while ( true

) 

對於撞球本身而言, 若以該time_interval為更新週期, 使得運動的球體滿足:

vt = v0 + a * t

執行距離為:

s = v0 * t + 1/2 * a * t^2.

然後來檢測球體是否發生了碰撞, 然後進行碰撞反應處理. 看似沒有問題.

但是當球體初速度很快時, 在time_interval中有可能, 發生穿越現象.

如下圖所展示的現象:

紫色球在t2時刻, 和藍球檢測到碰撞, 但實際上, 在紫球在t1~t2之間的某時刻和藍球發生了碰撞.

為了解決該問題, 在具體的演算法中, 需要引入更細的時間分片slice, 該過程在具體的update中進行模擬.

整個撞球場景的更新函式:

void

update(time_interval) 

而具體的碰撞檢測演算法為:

/*

@brief
在time_interval 時間內, 返回最先碰撞的球或撞球邊, 以及時間點
*/bool detectioncollide(time_interval, least_time, ball_pairs) 

撞球模擬碰撞演算法過程, 大致就是如上所述. 

計算最複雜的時刻, 其實就是開球, 打散一堆球的時候.

總結:

本文參考了"nehe的opengl中文教程 第30課 碰撞檢測與模型運動". 當然實現撞球遊戲, 未必真的需要該演算法, 很多開發者直接使用box2d就能完美並輕鬆的實現. 參考"使用 cocos2d-x box2d 的實現". 後續的文章, 想講述**球遊戲的ai如何設計和實現. 望一同努力.

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