4. 設 $a$ 是個不可約非負方陣, $0\leq t\leq 1$, 則 $$\bex \rho[ta+(1-t)a^t]\geq \rho(a). \eex$$
證明:
(1). 先證明: $$\bex 0\leq x,y\in\bbr^n, \sum_^n x_i=\sum_^n y_i>0\ra \prod_^n y_i^\leq \prod_^n x_i^. \eex$$ 事實上, 不妨設 $$\bex \sum_^n x_i =\sum_^n y_i=1. \eex$$ 而僅須證明 $$\beex \bea &\quad \prod_y_i^\leq \prod_x_i^\\ &\la \prod_\***}^ \leq \sum_ x_i\cdot \frac \leq 1, \eea \eeex$$ 最後一步是因為 young 不等式: $$\bex 10\ra \prod_^n a_i\leq \sum_^n \frac}. \eex$$
(2). 再證明: 設 $0\leq a\in m_n$ 不可約, $0
(3). 往證題目. 對 $\forall\ 0\leq t\leq 1$, 記 $b=ta+(1-t)a^t$, $0
詹興致矩陣論習題參考解答 習題1 8
8.證明任何乙個復方陣都酉相似於某個對角元素全部相等的矩陣.證明 1 先證每個跡為零的矩陣都酉相似於對角元素全為零的矩陣.對階 n 作數學歸納法.當 n 1 時,結論自明.假設結論對階 leq n 1 時都成立,則當階為 n 時,bex a a quad tr a a cdots a 0.eex 若...
詹興致矩陣論習題參考解答 習題2 7
7.marcus ree 乙個非負矩陣稱為是雙隨機的,若它的每行元素之和等於 1 且它的每列元素之和也等於 1 設 a a 為 n 階雙隨機矩陣,則存在 1,2,cdots,n 的乙個排列 sigma 使得對每個 i 1,cdots,n bex a geq sedd cfrac,n 2k,cfrac...
詹興致矩陣論習題參考解答 習題3 15
15.設 s n a,b 表示所有元素屬於給定的區間 a,b 的 n 階實對稱矩陣的集合.對於 j 1,n 確定 bex max sed mbox min sed,eex 以及分別取到最大值和最小值的矩陣.解答 對 0 neq x in bbr n beex bea quad x tax x tp ...