15. 設 $s_n[a,b]$ 表示所有元素屬於給定的區間 $[a,b]$ 的 $n$ 階實對稱矩陣的集合. 對於 $j=1,n$ 確定 $$\bex \max\sed\mbox \min\sed, \eex$$ 以及分別取到最大值和最小值的矩陣.
解答: 對 $0\neq x\in\bbr^n$, $$\beex \bea &\quad x^tax\\ &=x^tp^t (pap^t)px\\ &\quad\***px \mboxk\mbox\geq 0,\mboxk \mbox<0;\atop\mboxk>0, \mbox-x\mboxx}\\ &=y^tby\quad\***a \mbox, y=px}\\ &=\sum_^n b_y_iy_j\\ &=\sum_^k b_y_iy_j +2\sum_^k\sum_^n b_y_iy_j +\sum_^n b_y_iy_j\\ &\geq a\sum_^k y_iy_j +2b\sum_^k\sum_^n y_iy_j +a\sum_^n y_i y_j\\ &=y^tjy\\ &\quad \*** aj_k&bj_\\ bj_&aj_ \ea}, j_\mbox1\mboxr\times s\mbox, j_r=j_}. \eea \eeex$$ 因此, $$\beex \bea \lm_n(a)&=\min_=1}x^tax\\ &=\min_=1} y^*jy\\ &=\lm_n(j). \eea \eeex$$ 往求 $j$ 的最小特徵值 $\lm_n(j)$. 顯然, $j$ 可通過初等行變換化為 $$\bex \*** a&\cdots&a&b&\cdots&b\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ b&\cdots&b&a&\cdots&a \ea}, \eex$$ 其秩 $\leq 2$, 將 $j$ 通過正交陣化為對角型後即知 $j$ 最多只有 $2$ 個不為零的特徵值, 記為 $\mu_1$, $\mu_2$, 則通過比較跡, frobenius 範數 (酉不變, 而正交不變), 有 $$\bex c\equiv na=\mu_1+\mu_2, \eex$$ $$\bex d\equiv k^2a^2 +2k(n-k)b^2 +(n-k)^2a^2 =\mu_1^2+\mu_2^2. \eex$$ 而 $\mu_1,\mu_2$ 為二次方程 $$\bex t^2-ct+\frac=0 \eex$$ 的解. 於是 $$\beex \bea \lm_n(j) &=\frac}}\\ &=\frac\sez }\\ &=\frac \sez }. \eea \eeex$$ 因此, 當 $|a|b$ 時, $a<0$, 當且僅當 $k=n$ 時, $\lm_n(j)$ 達到最小, 為 $$\bex na. \eex$$ 綜上討論, 我們總結如下:
(1). 當 $|a|
(2). 當 $|a|=b$ 時, 當且僅當存在某個 $1\leq k\leq n$, $a$ 與 $$\bex \*** aj_k&bj_\\ bj_&aj_ \ea} \eex$$ 置換相似時, $\lm_n(a)$ 達到最小, 為 $$\bex na. \eex$$
(3). 當 $|a|>b$ 時, 當且僅當 $a=aj_n$ 時, $\lm_n(a)$ 達到最小, 為 $$\bex na. \eex$$ 最後, $$\bex \max\sed, \eex$$ $$\bex \min\sed, \eex$$ $$\bex \max\sed \eex$$ 均可類似討論而得到相應的結論.
詹興致矩陣論習題參考解答 習題1 8
8.證明任何乙個復方陣都酉相似於某個對角元素全部相等的矩陣.證明 1 先證每個跡為零的矩陣都酉相似於對角元素全為零的矩陣.對階 n 作數學歸納法.當 n 1 時,結論自明.假設結論對階 leq n 1 時都成立,則當階為 n 時,bex a a quad tr a a cdots a 0.eex 若...
詹興致矩陣論習題參考解答 習題2 7
7.marcus ree 乙個非負矩陣稱為是雙隨機的,若它的每行元素之和等於 1 且它的每列元素之和也等於 1 設 a a 為 n 階雙隨機矩陣,則存在 1,2,cdots,n 的乙個排列 sigma 使得對每個 i 1,cdots,n bex a geq sedd cfrac,n 2k,cfrac...
詹興致矩陣論習題參考解答 習題6 4
4.設 a 是個不可約非負方陣,0 leq t leq 1 則 bex rho ta 1 t a t geq rho a eex 證明 1 先證明 bex 0 leq x,y in bbr n,sum n x i sum n y i 0 ra prod n y i leq prod n x i ee...