8. 證明任何乙個復方陣都酉相似於某個對角元素全部相等的矩陣.
證明: (1). 先證每個跡為零的矩陣都酉相似於對角元素全為零的矩陣. 對階 $n$ 作數學歸納法. 當 $n=1$ 時, 結論自明. 假設結論對階 $\leq n-1$ 時都成立, 則當階為 $n$ 時, $$\bex a=(a_),\quad \tr a=a_+\cdots+a_=0. \eex$$ 若 $$\bee\label \exists\ i,\st a_=0, \eee$$ 則 $$\bex e_i^*ae_i=0,\quad e_i=(\underbrace_,\cdots,0)^t. \eex$$ 將 $e_i$ 擴充為 $\bbc^n$ 的一組基 $$\bex e_i,\al_2,\cdots,\al_n, \eex$$ 則 $$\bex a(e_i,\al_2,\cdots,\al_n)=(e_i,\al_2,\cdots,\al_n) \*** 0&*\\ *&b \ea}. \eex$$ 按照歸納假設, 存在 $n-1$ 階酉矩陣 $v$ 使得 $$\bex v^bv=\*** 0&&*\\ &\ddots&\\ *&&0 \ea}. \eex$$ 令 $$\bex u=(e_i,\al_2,\cdots,\al_n)\*** 1&0\\ 0&v \ea}, \eex$$ 則 $u$ 為酉矩陣, 且 $$\bex u^au=\*** 0&*\\ *&0 \ea}. \eex$$ 若 \eqref 不成立, 則 $$\bex \exists\ j\neq k,\st a_<00, \eex$$ 而可將 $(1-t)e_j+te_k$ 單位化後再擴充為 $\bbc^n$ 的一組基, 如此回到 \eqref 的情形.
(2). 再證題目. 一般的, $$\bex a=ai+c,\quad a=\frac\tr a,\quad \tr c=0. \eex$$ 由 (1), 存在酉矩陣 $u$, 使得 $$\bex u^cu=\*** 0&&*\\ &\ddots&\\ *&&0 \ea}\ra u^au=ai+\*** 0&&*\\ &\ddots&\\ *&&0 \ea}=\*** a&&*\\ &\ddots&\\ *&&a \ea}. \eex$$
詹興致矩陣論習題參考解答 習題2 7
7.marcus ree 乙個非負矩陣稱為是雙隨機的,若它的每行元素之和等於 1 且它的每列元素之和也等於 1 設 a a 為 n 階雙隨機矩陣,則存在 1,2,cdots,n 的乙個排列 sigma 使得對每個 i 1,cdots,n bex a geq sedd cfrac,n 2k,cfrac...
詹興致矩陣論習題參考解答 習題3 15
15.設 s n a,b 表示所有元素屬於給定的區間 a,b 的 n 階實對稱矩陣的集合.對於 j 1,n 確定 bex max sed mbox min sed,eex 以及分別取到最大值和最小值的矩陣.解答 對 0 neq x in bbr n beex bea quad x tax x tp ...
詹興致矩陣論習題參考解答 習題6 4
4.設 a 是個不可約非負方陣,0 leq t leq 1 則 bex rho ta 1 t a t geq rho a eex 證明 1 先證明 bex 0 leq x,y in bbr n,sum n x i sum n y i 0 ra prod n y i leq prod n x i ee...