[問題2014s07] 解答 (本解答由沈啟帆同學提供)
由復旦高代教材 p265 引理 7.4.1 知 \(f(p_i(\lambda)^)\) 的不變因子組為 \[1,\cdots,1,p_i(\lambda)^.\] 因此分塊對角陣 \(f=\mathrm\),f(p_2(\lambda)^),\cdots,f(p_k(\lambda)^)\}\) 經過 \(\lambda\)-矩陣的初等變換可化為如下對角 \(\lambda\)-矩陣: \[\mathrm\;1,\cdots,1,p_2(\lambda)^;\cdots;1,\cdots,1,p_k(\lambda)^\}.\] 由復旦高代教材 p271 引理 7.6.2 知 \(f\) 的初等因子組等於上述對角 \(\lambda\)-矩陣主對角元素的準素因子的集合. 注意到每個 \(p_i(\lambda)^\) 都是準素的, 因此 \(f\) 的初等因子組為 \(p_1(\lambda)^,p_2(\lambda)^,\cdots,p_k(\lambda)^\), 即 \(f\) 與 \(a\) 在數域 \(\mathbb\) 上有相同的初等因子組. 由復旦高代教材 p269 定理 7.5.1 知 \(a\) 與 \(f\) 在數域 \(\mathbb\) 上相似. \(\box\)
第三屆全國大學生數學競賽初賽一道試題的解答
設 \(a\) 在數域 \(\mathbb\) 上的初等因子組為 \[p_1(\lambda)^,p_2(\lambda)^,\cdots,p_k(\lambda)^;\lambda^,\lambda^,\cdots,\lambda^,\] 其中 \(p_i(\lambda)\) 是 \(\mathbb\) 上的不可約多項式且 \(p_i(0)\neq 0\), \(e_i>0,\,i=1,2,\cdots,k\); \(t_j>0,\,j=1,2,\cdots,r\). 注意到 \(f(p_i(\lambda)^)\) 為相伴於多項式 \(p_i(\lambda)^\) 的友陣, 從而它的特徵多項式恰為 \(p_i(\lambda)^\). 特別地, \(\det\big(f(p_i(\lambda)^)\big)=(-1)^p_i(0)^\neq 0\), 其中 \(n_i=\deg p_i(\lambda)^\), 即 \(f(p_i(\lambda)^)\) 是非異陣. 令 \[b=\mathrm\),f(p_2(\lambda)^),\cdots,f(p_k(\lambda)^)\},\] 則 \(b\) 是數域 \(\mathbb\) 上的非異陣. 由友陣的定義容易驗證 \(f(\lambda^)\) 是冪零陣. 令 \[c=\mathrm\),f(\lambda^),\cdots,f(\lambda^)\},\] 則 \(c\) 是數域 \(\mathbb\) 上的冪零陣. 由 [問題2014s07] 知 \(a\) 在數域 \(\mathbb\) 上相似於\[\left( \begin b & 0 \\ 0 & c \end \right),\] 故結論得證. \(\box\)
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問題2014s01 解答因為 f x 1,cdots,x n 為 2 次 n 元對稱多項式,故 f x 1,cdots,x n a sum nx i 2 2c sum 2ax 1 2cx 2 cdots 2cx n d,2cx 1 2ax 2 cdots 2cx n d,cdots cdots cd...
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