[問題2014s05] 解答 (本解答由谷嶸同學提供)
首先, 由 \(\mathrm(ab)=\mathrm(ba)\) 可得 \(a=0\), 或者由 cauchy-binet 公式知 \(|ab|=0\), 從而可得 \(a=0\).
其次, 我們來證明乙個一般的結論.
引理設 \(a\) 為 \(n\times m\) 矩陣, \(b\) 為 \(m\times n\) 矩陣, 則對任意的非零常數 \(\lambda_0\) 均有 \[m-\mathrm(\lambda_0i_m-ba)=n-\mathrm(\lambda_0i_n-ab).\]
引理的證明採用與降階公式類似的證明方法, 即分塊矩陣的初等變換. 考慮如下分塊矩陣: \[ m=\begin i_n & a \\ b & \lambda_0i_m \end.\]
先用 \(i_n\) 通過分塊初等變換消去 \(a,b\), 可得 \(m\) 相抵於 \[\begin i_n & 0 \\ 0 & \lambda_0i_m-ba \end;\] 再用 \(\lambda_0i_m\) 通過分塊初等變換消去 \(a,b\), 可得 \(m\) 相抵於 \[\begin i_n-\lambda_0^ab & 0 \\ 0 & \lambda_0i_m \end.\] 比較兩個分塊對角陣的秩可得 \[n+\mathrm(\lambda_0i_m-ba)=m+\mathrm(\lambda_0i_n-ab). \quad\box\]
回到原題, 通過簡單的計算知道 \(\mathrm(ba-i_3)=1\), 因此由上述引理可得 \(\mathrm(ab-i_4)=2\). 我們注意到 \[ab-i_4=\begin -15 & 0 & -15 & -32 \\ 2b-9 & 0 & 3b-9 & 4b-19 \\ 2 & 0 & 2 & 4 \\ 6 & 0 & 6 & 13 \end\] 的第 3, 4 行是行向量的極大無關組, 從而第 2 行是第 3, 4 行的線性組合, 故 \(2b-9=3b-9\), 即 \(b=0\).
注(1) 本題原來的證法是想通過 \(ba\) 可對角化推出 \(ab\) 可對角化, 然後得到 \(b=0\), 具體的解題思路和方法請參考我和楊翎老師撰寫的教學** 不過谷嶸同學提供的解法告訴我們，其實並不需要證明太多，有秩的等式就足夠了.
(2) 本題其實是由第三屆全國大學數學競賽決賽第 5 題逆向命題而來, 請大家參考原題, 並仍用上述引理來證明 \(ba=9i_2\).
第三屆全國大學數學競賽決賽第 5 題設 \(a,b\) 分別是 \(3\times 2\) 和 \(2\times 3\) 實矩陣, 若 \[ab=\left( \begin 8 & 0 & -4 \\ -\dfrac & 9 & -6 \\ -2 & 0 & 1 \end \right),\] 求 \(ba\).
問題2014S01 解答
問題2014s01 解答因為 f x 1,cdots,x n 為 2 次 n 元對稱多項式,故 f x 1,cdots,x n a sum nx i 2 2c sum 2ax 1 2cx 2 cdots 2cx n d,2cx 1 2ax 2 cdots 2cx n d,cdots cdots cd...
問題2014S06 解答
問題2014s06 解答 本解答由巴聞嘉同學給出 設特徵多項式 f x det xi v varphi x n a x cdots a 1x a 0,則由 cayley hamilton 定理可得 varphi n a varphi cdots a 1 varphi a 0i v 0.特別地,上式作...
問題2014S07 解答
問題2014s07 解答 本解答由沈啟帆同學提供 由復旦高代教材 p265 引理 7.4.1 知 f p i lambda 的不變因子組為 1,cdots,1,p i lambda 因此分塊對角陣 f mathrm f p 2 lambda cdots,f p k lambda 經過 lambda ...