[問題2014s06] 解答 (本解答由巴聞嘉同學給出)
設特徵多項式 \[f(x)=\det(xi_v-\varphi)=x^n+a_x^+\cdots+a_1x+a_0,\] 則由 cayley-hamilton 定理可得 \[\varphi^n+a_\varphi^+\cdots+a_1\varphi+a_0i_v=0.\] 特別地, 上式作用在向量 \(\alpha\) 上可得 \[\varphi^n(\alpha)=-a_\varphi^(\alpha)-\cdots-a_1\varphi(\alpha)-a_0(\alpha). \cdots\cdots(1)\] 通過數學歸納法不難證明: 對任意的 \(k\geq n\), \(\varphi^k(\alpha)\) 都是 \(\varphi^(\alpha)\), \(\cdots\), \(\varphi(\alpha)\), \(\alpha\) 的線性組合, 從而 \[v=l(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots)=l(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^(\alpha)).\] 因為 \(\dim v=n\), 所以 \(\(\alpha))\}\) 是 \(v\) 的一組基. 由 (1) 式可知 \(\varphi\) 在基 \(\(\alpha))\}\) 下的表示矩陣為:
\[a=\begin 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_ \end, \cdots\cdots(2)\]
即為特徵多項式 \(f(x)\) 相伴的友陣 (見復旦高代教材第 250 頁複習題 15).
由復旦高代教材第 265 頁引理 7.4.1 知 \(\lambda i-a\) 相抵於 \(\mathrm\\). 由條件不妨設 \(f(x)=g(x)h(x)\), 其中 \((g(x),h(x))=1\). 由復旦高代教材第 261 頁習題 7.2.4 或第 271 頁引理 7.6.2 的證明知 \(\mathrm\\) 相抵於 \(\mathrm\\). 設 \(b=\mathrm\\) 為分塊對角陣, 其中 \(p\) 階矩陣 \(c\) 是 \(g(x)\) 的友陣, \(q\) 階矩陣 \(d\) 是 \(h(x)\) 的友陣. 再次由復旦高代教材第 265 頁引理 7.4.1 知 \(\lambda i-b\) 相抵於 \(\mathrm\\). 由復旦高代教材第 265 頁引理 7.4.2 知 \(\lambda i-a\) 相抵於 \(\lambda i-b\), 從而由復旦高代教材第 255 頁定理 7.1.2 知 \(a\) 相似於 \(b=\mathrm\\).
因為 \(a\) 是 \(\varphi\) 在某組基下的表示矩陣, 於是存在另一組基 \(\\), 使得 \(\varphi\) 在這組基下的表示矩陣為 \(b=\mathrm\\). 令 \(\beta=\beta_1\), \(\gamma=\gamma_1\). 由於 \(c,d\) 也是形如 (2) 式那樣的友陣, 不難驗證 \[l(\beta,\varphi(\beta),\cdots)=l(\beta_1,\cdots,\beta_p);\,\,l(\gamma,\varphi(\gamma),\cdots)=l(\gamma_1,\cdots,\gamma_q),\] 因此 \[v=l(\beta_1,\cdots,\beta_p)\oplus l(\gamma_1,\cdots,\gamma_q)=l(\beta,\varphi(\beta),\cdots)\oplus l(\gamma,\varphi(\gamma),\cdots). \quad\box\]
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