笛卡爾（descartes）乘積又叫直積。假設集合a=，集合b=，則兩個集合的笛卡爾積為。可以擴充套件到多個集合的情況。類似的例子有，如果a表示某學校學生的集合，b表示該學校所有課程的集合，則a與b的笛卡爾積表示所有可能的選課情況。
目錄名稱定義
序偶定義
笛卡爾積定義
推導過程
案例 序偶與笛卡爾積
定義證明定理直積
名稱定義
序偶定義
笛卡爾積定義
推導過程
案例 序偶與笛卡爾積
定義證明定理
直積 展開
由兩個元素x和y（x=y）按一定順序排列成的二元組叫做乙個有序對或序偶，記作，其中x是它的
第一元素，y是它的第二元素。
有序對；具有以下性質：
1.當x≠y時，；≠.
2.=；的充分必要條件是x=u且y=v.
這些性質是二元集所不具備的。例如當x≠y時有=。原因在於有序對中的元素是有序的
，而集合中的元素是無序的。
例：已知=<5,2x+y>；，求x和y。
解：由有序對相等的充要條件有 x+2=5和2x+y=4 聯立解得 x=3，y=-2.設a,b為集合，用a中元素為第一元素，b中元素為第二元素構成的有序對，所有這樣的有序對組成的集合
叫做a與b的笛卡爾積，記作axb.
笛卡爾積的符號化為：
axb=
例如，a=,b=,則
axb=
bxa=
笛卡爾積的運算性質
1.對任意集合a，根據定義有
axφ =φ ，φ xa=φ
2.一般地說，笛卡爾積運算不滿**換律，即
axb≠bxa（當a≠φ ∧b≠φ∧a≠b時）
3.笛卡爾積運算不滿足結合律，即
（axb)xc≠ax(bxc）（當a≠φ ∧b≠φ∧c≠φ時)
4.笛卡爾積運算對並和交運算滿足分配律，即
ax(b∪c)=(axb）∪（axc)
(b∪c)xa=(bxa）∪（cxa)
ax(b∩c)=(axb）∩（axc)
(b∩c)xa=(bxa）∩（cxa)給定一組域d1，d2，…，dn，這些域中可以有相同的。d1，d2，…，dn的
笛卡爾積為：
d1×d2×…×dn=
所有域的所有取值的乙個組合不能重複給出三個域：
d1=supervisor =
d2=speciality=
d3=postgraduate=
則d1，d2，d3的笛卡爾積為d：
d=d1×d2×d3 =
這樣就把d1,d2,d3這三個集合中的每個元素加以對應組合，形成龐大的集合群。
本個例子中的d中就會有2x2x3個元素，如果乙個集合有1000個元素，有這樣3個集合，他們的笛卡爾積所組成的新集合會達到十億個元素。假若某個集合是無限集，那麼新的集合就將是有無限個元素。
在日常生活中，有許多事物是成對出現的，而且這種成對出現的事物，具有一定的順序。例如，上，下；左，右；3〈4；
張華高於
李明；中國地處亞洲；平面上點的座標等。一般地說，兩個具有固定次序的客體組成乙個序偶，它常常表達兩個客體之間的關係。記作〈x，y〉。上述各例可分別表示為〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈張華，李明〉；〈中國，亞洲〉；〈a，b〉等。
序偶可以看作是具有兩個元素的集合。但它與一般集合不同的是序偶具有確定的次序。在集合中=，但對序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。
設x，y為任意物件，稱集合,}為二元有序組，或序偶（ordered pairs），簡記為；。稱x為；的第一分量，稱y為第二分量。3-4.1 對任意序偶,,= 當且僅當a=c且b = d。
遞迴定義n元序組
=，}
= ，,}
= < ,a3 >
= <,an>
兩個n元序組相等
< a1，…an >= < b1，…bn >û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定義3-4.2 對任意集合 a1，a2，…，an，
（1）a1×a2，稱為集合a1，a2的笛卡爾積（cartesian product），定義為
a1 ×a2==
（2）遞迴地定義 a1 × a2× … × an
a1 × a2×… × an= (a1× a2 × …× an-1）×an
例題1 若a=，b=，求a×b，a×a，b×b以及（a×b）ç；（b×a）。
解 a×b=
b×a=
a×a=
b×b=
（a×b）ç；（b×a）=æ
由例題1可以看到（a×b）ç；（b×a）=æ
我們約定若a=æ；或b=æ；，則a×b=æ；。
由笛卡爾定義可知：
（a×b）×c=
= a×（b×c）=
由於〈a，〈b，c〉〉不是三元組，所以
（a×b）×c ≠a×（b×c）
定理3-4.1 設a,b,c為任意集合，*表示 è；，ç；或 – 運算，那麼有如下結論：
笛卡爾積對於並、交差運算可左分配。即：
a×（b*c)=(a×b)*(a×c)
笛卡爾積對於並、交差運算可右分配。即：
(b*c) ×a=(b×a)*(c×a)¤ 當*表示 è；時，結論（1）的證明思路：（討論敘述法）
先證明a×（b è c)í(a×b) è (a×c) 從；∈a×（bèc）出發，推出；∈（a ×b) è (a×c)
再證明（a×b) è (a×c) í a×（b è c)
從；∈（a×b) è (a×c）出發，推出；∈a×（bèc)
當*表示 è；時，結論（2）的證明思路：（謂詞演算法） 見p-103頁。¤
定理3-4.2 設a,b,c為任意集合，若c ≠ f，那麼有如下結論：
aíbû(a×c íb×c) û (c×aíc×b) ¤
定理前半部分證明思路 ：（謂詞演算法）
先證明aíb þ (a×cíb×c)
以aíb 為條件，從；∈a×c出發，推出；∈b×c
得出（a×cíb×c）結論。
再證明（a×c íb×c) þ aíb
以c≠f為條件，從x∈a出發，對於y∈c，利用þ；附加式，推出x∈b
得出（aíb）結論。見p-103頁。¤3-4.3 設a,b,c,d為任意四個非空集合，那麼有如下結論：
a×b í c×d的
充分必要條件是aí c，bí d
¤證明思路：（謂詞演算法）
先證明充分性：a×b í c×d þ aí c，bí d
對於任意的x∈a、y∈b，從；∈a×b出發，利用條件a×bí c×d， ；∈c×d，推出x∈c， y∈d。
再證明必要性：aí c，bí d þa×bí c×d
對於任意的x∈a、y∈b，從；∈a×b出發，推出；∈c×d。笛卡爾（cartesian product）乘積又叫
直積。設a、b是任意兩個
集合，在集合a中任意取乙個元素x，在集合b中任意取乙個元素y，組成乙個有序對（x，y），把這樣的有序對作為新的元素，他們的全體組成的集合稱為集合a和集合b的直積，記為a×b，即a×b=。
sql關聯，笛卡爾乘積問題。
mysql語句拼寫時存在笛卡爾乘積的問題，如果想要以a表為主，去其關聯表的部分字段，即 a中有n條，關聯b之後也是n條，則條件應作為b的關聯條件，而不是where之後的條件。例 select from t ord item a left join t register item b on b.ite...
python中的笛卡爾乘積
在領扣刷題的過程中遇到需要使用笛卡爾積的解法，因為使用的是python3版本解決，所以在python版本中提供了乙個庫函式可以模擬笛卡爾乘積的元素組成過程 itertools.product，一般來說比較常使用的是在product方法中傳遞進a與b兩個可迭代的物件進行組合，官方提供的解釋如下 pro...
笛卡爾 關於笛卡爾
陪孩子看書看到笛卡爾，突然想到了笛卡爾積以及cross join等等，無法忽視的數學之美。關於笛卡爾發明座標系還有這樣乙個故事 有一天，笛卡爾 1596 1650，法國哲學家 數學家 物理學家 生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反覆思考乙個問題 幾何圖形是直觀的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖...