好些人來信問我，要成為乙個好的程式設計師，數學基礎要達到什麼樣的程度？十八年前，當我成為大學計算機系新生的時候，也為同樣的問題所困擾。面對學數學，物理等學科的同學，我感到自卑。經常有人說那些專業的知識更加精華一些，難度更高一些，那些專業的人畢業之後如果做程式設計工作，水平其實比計算機系畢業的還要高。直到幾年前深入研究程式語言之後，對這個問題我才得到了答案和解脫。由於好多程式設計新手遇到同樣的困擾，所以我想在這裡把這個問題詳細的闡述一下。
數學並不是電腦科學的基礎
很多人都錯誤的認為，電腦科學是數學的乙個分支，數學是電腦科學的基礎，數學是更加博大精深的科學。這些人以為只要學會了數學，程式設計的事情全都不在話下，然而事實卻並非如此。
事實其實是這樣的：
數學是異常糟糕的語言
這並不是危言聳聽。如果你深入研究過程式語言的理論，就會發現其實數學家們使用的那些符號，只不過是一種非常糟糕的程式語言。數學的理論有些是有用的，然而數學家門用於描述這些理論所用的語言，卻是紛繁複雜，缺乏一致性，可組合性（composability），簡單性，可用性。這也就是為什麼大部分人看到數學就頭痛。這不是他們不夠聰明，而是數學語言的「設計」有問題。人們學習數學的時候，其實只有少部分時間在思考它的精髓，而大部分時間是在折騰它的語法。
舉乙個非常簡單的例子。如果你說x-1表示x的-1次方（x的倒數），那麼f-1表示什麼？f的-1次方，f的倒數？別被數學老師們的教條和藉口欺騙啦，他們總是告訴你：「你應該記住這些！」 可是你想過嗎：「憑什麼！」 x-1表示x的-1次方，而f-1，明明是一模一樣的形式，表示的卻是函式f的反函式。乙個是求冪，乙個是反函式，風馬不及，卻寫成乙個樣子。這樣的語言設計混淆不堪，卻喜歡以「約定俗成」作為藉口。
如果你再多看一些數學書，就會發現這只是數學語言幾百年累積下來的糟粕的冰山一角。數學書裡盡是各種上標下標，帶括號的上標下標，x，y，z，a，b，c，f，g，h，各種扭來扭去的希臘字母，希伯來字母…… 斜體，黑體，花體，雙影體，……用不同的字型來表示不同的「型別」。很多符號的含義，在不同的子領域裡面都不一樣。有些人上一門數學課，到最後還沒明白那些符號是什麼意思。
很多人學習微積分都覺得困難，其實問題不在他們，而在於萊布尼茲（leibniz）。萊布尼茲設計來描述微積分的語言（∫，dx， dy， ...），從現代語言設計的角度來看，其實非常之糟糕，可以說是一塌糊塗。我不能怪萊布尼茲，他畢竟是幾百年前的人了，他不知道我們現在知道的很多東西。然而古人的設計，現在還不考慮改進，反而當成教條灌輸給學生，那就是不思進取了。
數學的語言不像程式語言，它的歷史太久，沒有經過系統的，考慮周全的，統一的設計。各種數學符號的出現，往往是歷史上某個數學家有天在黑板上隨手畫出一些古怪的符號，說這代表什麼，那代表什麼，…… 然後就定下來了。很多數學家只關心自己那塊狹窄的子領域，為自己的理論隨便設計出一套符號，完全不管這些是否跟其它子領域的符號相衝突。這就是為什麼不同的數學子領域裡寫出同樣的符號，卻可以表示完全不同的涵義。在這種意義上，數學的語言跟perl（一種非常糟糕的程式語言）有些類似。perl把各種人需要的各種功能，不加選擇地加進了語言裡面，造成語言繁複不堪，甚至連perl的創造者自己都不能理解它所有的功能。
數學的證明，使用的其實也是極其不嚴格的語言——古怪的符號，加上含糊不清，容易誤解的人類語言。如果你知道什麼是 curry-howard correspondence 就會明白，其實每乙個數學證明都不過是一段**。同樣的定理，可以有許多不同版本的證明（**）。這些證明有的簡短優雅，有的卻冗長繁複，像麵條一樣繞來繞去，沒法看懂。你經常在數學證明裡面看到「未定義的變數」，證明的邏輯也包含著各種隱含知識，思維跳躍，非常難以理解。很多數學證明，從程式的觀點來看，連編譯都不會通過，就別提執行了。
數學家們往往不在乎證明的優雅性。他們認為只要能證明出定理，你管我的證明簡不簡單，容不容易看懂呢。你越是看不懂，就越是覺得我高深莫測！這種思潮到了程式設計的時候就顯出弊端了。數學家寫**，往往忽視**的優雅性，簡單性，模組化，可讀性，效能，資料結構等重要因素，認為**只要能算出結果就行。他們把**當成跟證明一樣，一次性的東西，所以他們的**往往不能滿足實際工程的嚴格要求。
程式設計是一門藝術
從上面你也許已經明白了，普通程式設計師使用的程式語言，就算是c++這樣毛病眾多的語言，其實也已經比數學家使用的語言高明很多。電腦科學並不是數學的乙個分支，它在很大程度上是優於數學，高於數學的。有些數學的基本理論可以被電腦科學所用，然而電腦科學並不是數學的一部分。數學在語言方面帶有太多的歷史遺留糟粕，它其實是泥菩薩過河，自身難保，它根本解決不了程式設計中遇到的實際問題。
編**的是一門藝術，因為它符合藝術的各種特徵。藝術可以利用科學提供的工具，然而它卻不是科學的一部分，它的地位也並不低於科學。和所有的藝術一樣，程式設計能解決科學沒法解決的問題，滿足人們新的需求，開拓新的世界。所以親愛的程式設計師們，別再為自己不懂很多數學而煩惱了。數學並不能幫助你寫出好的程式，然而能寫出好程式的人，卻能更好的理解數學。我建議你們先學程式設計，再去看數學。
數學與程式設計
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